Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72871 / 55391
↖ ↑ ↗
← N 26.826522°
E 20.146179°		 ← 272.55 m → N 26.826522°
E 20.148926°		 →
↑
272.55 m
↓
↑
272.55 m
↓
N 26.824071°
E 20.146179°		 ← 272.56 m →
74 286 m²		 N 26.824071°
E 20.148926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555965423583984 y=0.422603607177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555965423583984 × 217)
    floor (0.555965423583984 × 131072)
    floor (72871.5)     		tx = 72871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422603607177734 × 217)
    floor (0.422603607177734 × 131072)
    floor (55391.5)     		ty = 55391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72871 / 55391 ti = "17/72871/55391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72871/55391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72871 ÷ 217
    72871 ÷ 131072     		x = 0.555961608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55391 ÷ 217
    55391 ÷ 131072     		y = 0.422599792480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555961608886719 × 2 - 1) × π
    0.111923217773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.35161716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422599792480469 × 2 - 1) × π
    0.154800415039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.48631984664547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35161716} λ = 0.35161716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48631984664547))-π/2
    2×atan(1.6263200860564)-π/2
    2×1.0195037294699-π/2
    2.0390074589398-1.57079632675     		φ = 0.46821113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35161716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.146179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46821113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.826522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72871 KachelY 55391 0.35161716 0.46821113 20.146179 26.826522
    Oben rechts KachelX + 1 72872 KachelY 55391 0.35166510 0.46821113 20.148926 26.826522
    Unten links KachelX 72871 KachelY + 1 55392 0.35161716 0.46816835 20.146179 26.824071
    Unten rechts KachelX + 1 72872 KachelY + 1 55392 0.35166510 0.46816835 20.148926 26.824071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46821113-0.46816835) × R
    4.27799999999645e-05 × 6371000     		dl = 272.551379999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46821113-0.46816835) × R
    4.27799999999645e-05 × 6371000     		dr = 272.551379999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35161716-0.35166510) × cos(0.46821113) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892377015918775 × 6371000     		do = 272.554910446121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35161716-0.35166510) × cos(0.46816835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8923963213167 × 6371000     		du = 272.560806811568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46821113)-sin(0.46816835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892377015918775-0.8923963213167)×R²
    abs(0.35166510-0.35161716)×1.93053979251623e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93053979251623e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93053979251623e-05×40589641000000     		ar = 74286.0205103508m²