Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7287 / 5302
↖ ↑ ↗
← N 76.377796°
W 99.942627°		 ← 287.70 m → N 76.377796°
W 99.931641°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 76.375208°
W 99.942627°		 ← 287.76 m →
82 803 m²		 N 76.375208°
W 99.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222396850585938 y=0.161819458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222396850585938 × 215)
    floor (0.222396850585938 × 32768)
    floor (7287.5)     		tx = 7287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161819458007812 × 215)
    floor (0.161819458007812 × 32768)
    floor (5302.5)     		ty = 5302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7287 / 5302 ti = "15/7287/5302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7287/5302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7287 ÷ 215
    7287 ÷ 32768     		x = 0.222381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5302 ÷ 215
    5302 ÷ 32768     		y = 0.16180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.55523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74432790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16180419921875 × 2 - 1) × π
    0.6763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.12494688635785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74432790} λ = -1.74432790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12494688635785))-π/2
    2×atan(8.37245278485633)-π/2
    2×1.45192016613464-π/2
    2.90384033226929-1.57079632675     		φ = 1.33304401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74432790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.942627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33304401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.377796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7287 KachelY 5302 -1.74432790 1.33304401 -99.942627 76.377796
    Oben rechts KachelX + 1 7288 KachelY 5302 -1.74413616 1.33304401 -99.931641 76.377796
    Unten links KachelX 7287 KachelY + 1 5303 -1.74432790 1.33299884 -99.942627 76.375208
    Unten rechts KachelX + 1 7288 KachelY + 1 5303 -1.74413616 1.33299884 -99.931641 76.375208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33304401-1.33299884) × R
    4.51700000001498e-05 × 6371000     		dl = 287.778070000954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33304401-1.33299884) × R
    4.51700000001498e-05 × 6371000     		dr = 287.778070000954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74432790--1.74413616) × cos(1.33304401) × R
    0.000191739999999996 × 0.235518767766849 × 6371000     		do = 287.703965914917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74432790--1.74413616) × cos(1.33299884) × R
    0.000191739999999996 × 0.235562666885476 × 6371000     		du = 287.757592004459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33304401)-sin(1.33299884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235518767766849-0.235562666885476)×R²
    abs(-1.74413616--1.74432790)×4.38991186269555e-05×R²
    0.000191739999999996×4.38991186269555e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.38991186269555e-05×40589641000000     		ar = 82802.6082626417m²