Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7287 / 5210
↖ ↑ ↗
← N 76.613815°
W 99.942627°		 ← 282.81 m → N 76.613815°
W 99.931641°		 →
↑
282.87 m
↓
↑
282.87 m
↓
N 76.611271°
W 99.942627°		 ← 282.86 m →
80 007 m²		 N 76.611271°
W 99.931641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222396850585938 y=0.159011840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222396850585938 × 215)
    floor (0.222396850585938 × 32768)
    floor (7287.5)     		tx = 7287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159011840820312 × 215)
    floor (0.159011840820312 × 32768)
    floor (5210.5)     		ty = 5210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7287 / 5210 ti = "15/7287/5210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7287/5210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7287 ÷ 215
    7287 ÷ 32768     		x = 0.222381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5210 ÷ 215
    5210 ÷ 32768     		y = 0.15899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.55523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74432790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15899658203125 × 2 - 1) × π
    0.6820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14258766541803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74432790} λ = -1.74432790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14258766541803))-π/2
    2×atan(8.52145981044151)-π/2
    2×1.45397982117677-π/2
    2.90795964235353-1.57079632675     		φ = 1.33716332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74432790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.942627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33716332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.613815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7287 KachelY 5210 -1.74432790 1.33716332 -99.942627 76.613815
    Oben rechts KachelX + 1 7288 KachelY 5210 -1.74413616 1.33716332 -99.931641 76.613815
    Unten links KachelX 7287 KachelY + 1 5211 -1.74432790 1.33711892 -99.942627 76.611271
    Unten rechts KachelX + 1 7288 KachelY + 1 5211 -1.74413616 1.33711892 -99.931641 76.611271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33716332-1.33711892) × R
    4.43999999999445e-05 × 6371000     		dl = 282.872399999646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33716332-1.33711892) × R
    4.43999999999445e-05 × 6371000     		dr = 282.872399999646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74432790--1.74413616) × cos(1.33716332) × R
    0.000191739999999996 × 0.231513347876625 × 6371000     		do = 282.81104294959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74432790--1.74413616) × cos(1.33711892) × R
    0.000191739999999996 × 0.231556541377107 × 6371000     		du = 282.863807073266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33716332)-sin(1.33711892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231513347876625-0.231556541377107)×R²
    abs(-1.74413616--1.74432790)×4.31935004823747e-05×R²
    0.000191739999999996×4.31935004823747e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.31935004823747e-05×40589641000000     		ar = 80006.901236093m²