Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72867 / 78435
↖ ↑ ↗
← S 33.364944°
E 20.135193°		 ← 255.09 m → S 33.364944°
E 20.137940°		 →
↑
255.09 m
↓
↑
255.09 m
↓
S 33.367238°
E 20.135193°		 ← 255.08 m →
65 070 m²		 S 33.367238°
E 20.137940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555934906005859 y=0.598415374755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555934906005859 × 217)
    floor (0.555934906005859 × 131072)
    floor (72867.5)     		tx = 72867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598415374755859 × 217)
    floor (0.598415374755859 × 131072)
    floor (78435.5)     		ty = 78435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72867 / 78435 ti = "17/72867/78435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72867/78435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72867 ÷ 217
    72867 ÷ 131072     		x = 0.555931091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78435 ÷ 217
    78435 ÷ 131072     		y = 0.598411560058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555931091308594 × 2 - 1) × π
    0.111862182617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.35142541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598411560058594 × 2 - 1) × π
    -0.196823120117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.618338068199104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35142541} λ = 0.35142541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618338068199104))-π/2
    2×atan(0.538839207880277)-π/2
    2×0.494234103182318-π/2
    0.988468206364637-1.57079632675     		φ = -0.58232812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35142541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.135193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58232812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.364944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72867 KachelY 78435 0.35142541 -0.58232812 20.135193 -33.364944
    Oben rechts KachelX + 1 72868 KachelY 78435 0.35147335 -0.58232812 20.137940 -33.364944
    Unten links KachelX 72867 KachelY + 1 78436 0.35142541 -0.58236816 20.135193 -33.367238
    Unten rechts KachelX + 1 72868 KachelY + 1 78436 0.35147335 -0.58236816 20.137940 -33.367238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58232812--0.58236816) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dl = 255.094840000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58232812--0.58236816) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dr = 255.094840000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35142541-0.35147335) × cos(-0.58232812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835184518707571 × 6371000     		do = 255.086849662932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35142541-0.35147335) × cos(-0.58236816) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835162497245888 × 6371000     		du = 255.080123741702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58232812)-sin(-0.58236816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835184518707571-0.835162497245888)×R²
    abs(0.35147335-0.35142541)×2.20214616830638e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20214616830638e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20214616830638e-05×40589641000000     		ar = 65070.4812356019m²