Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7286 / 3570
↖ ↑ ↗
← N 70.714471°
W 19.907227°		 ← 806.96 m → N 70.714471°
W 19.885254°		 →
↑
807.08 m
↓
↑
807.08 m
↓
N 70.707212°
W 19.907227°		 ← 807.25 m →
651 395 m²		 N 70.707212°
W 19.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444732666015625 y=0.217926025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444732666015625 × 214)
    floor (0.444732666015625 × 16384)
    floor (7286.5)     		tx = 7286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217926025390625 × 214)
    floor (0.217926025390625 × 16384)
    floor (3570.5)     		ty = 3570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7286 / 3570 ti = "14/7286/3570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7286/3570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7286 ÷ 214
    7286 ÷ 16384     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3570 ÷ 214
    3570 ÷ 16384     		y = 0.2178955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2178955078125 × 2 - 1) × π
    0.564208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7725148003512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7725148003512))-π/2
    2×atan(5.88563596533573)-π/2
    2×1.40249833405564-π/2
    2.80499666811129-1.57079632675     		φ = 1.23420034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23420034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.714471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7286 KachelY 3570 -0.34744665 1.23420034 -19.907227 70.714471
    Oben rechts KachelX + 1 7287 KachelY 3570 -0.34706315 1.23420034 -19.885254 70.714471
    Unten links KachelX 7286 KachelY + 1 3571 -0.34744665 1.23407366 -19.907227 70.707212
    Unten rechts KachelX + 1 7287 KachelY + 1 3571 -0.34706315 1.23407366 -19.885254 70.707212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23420034-1.23407366) × R
    0.000126679999999935 × 6371000     		dl = 807.078279999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23420034-1.23407366) × R
    0.000126679999999935 × 6371000     		dr = 807.078279999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34706315) × cos(1.23420034) × R
    0.000383500000000037 × 0.330276016901136 × 6371000     		do = 806.956291160259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34706315) × cos(1.23407366) × R
    0.000383500000000037 × 0.330395585525972 × 6371000     		du = 807.248430610596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23420034)-sin(1.23407366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330276016901136-0.330395585525972)×R²
    abs(-0.34706315--0.34744665)×0.000119568624836308×R²
    0.000383500000000037×0.000119568624836308×6371000²
    0.000383500000000037×0.000119568624836308×40589641000000     		ar = 651394.786078819m²