Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7286 / 10820
↖ ↑ ↗
← S 49.894634°
W 19.907227°		 ← 1 573.95 m → S 49.894634°
W 19.885254°		 →
↑
1 573.70 m
↓
↑
1 573.70 m
↓
S 49.908787°
W 19.907227°		 ← 1 573.49 m →
2 476 561 m²		 S 49.908787°
W 19.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444732666015625 y=0.660430908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444732666015625 × 214)
    floor (0.444732666015625 × 16384)
    floor (7286.5)     		tx = 7286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660430908203125 × 214)
    floor (0.660430908203125 × 16384)
    floor (10820.5)     		ty = 10820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7286 / 10820 ti = "14/7286/10820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7286/10820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7286 ÷ 214
    7286 ÷ 16384     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10820 ÷ 214
    10820 ÷ 16384     		y = 0.660400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660400390625 × 2 - 1) × π
    -0.32080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00782537761206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00782537761206))-π/2
    2×atan(0.365011880135804)-π/2
    2×0.34998533876454-π/2
    0.69997067752908-1.57079632675     		φ = -0.87082565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87082565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.894634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7286 KachelY 10820 -0.34744665 -0.87082565 -19.907227 -49.894634
    Oben rechts KachelX + 1 7287 KachelY 10820 -0.34706315 -0.87082565 -19.885254 -49.894634
    Unten links KachelX 7286 KachelY + 1 10821 -0.34744665 -0.87107266 -19.907227 -49.908787
    Unten rechts KachelX + 1 7287 KachelY + 1 10821 -0.34706315 -0.87107266 -19.885254 -49.908787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87082565--0.87107266) × R
    0.000247010000000047 × 6371000     		dl = 1573.7007100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87082565--0.87107266) × R
    0.000247010000000047 × 6371000     		dr = 1573.7007100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34706315) × cos(-0.87082565) × R
    0.000383500000000037 × 0.644195259336399 × 6371000     		do = 1573.9484269387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34706315) × cos(-0.87107266) × R
    0.000383500000000037 × 0.644006311351126 × 6371000     		du = 1573.48677438866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87082565)-sin(-0.87107266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644195259336399-0.644006311351126)×R²
    abs(-0.34706315--0.34744665)×0.000188947985273358×R²
    0.000383500000000037×0.000188947985273358×6371000²
    0.000383500000000037×0.000188947985273358×40589641000000     		ar = 2476560.51809626m²