Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7286 / 10782
↖ ↑ ↗
← S 49.353756°
W 19.907227°		 ← 1 591.52 m → S 49.353756°
W 19.885254°		 →
↑
1 591.22 m
↓
↑
1 591.22 m
↓
S 49.368066°
W 19.907227°		 ← 1 591.06 m →
2 532 091 m²		 S 49.368066°
W 19.885254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444732666015625 y=0.658111572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444732666015625 × 214)
    floor (0.444732666015625 × 16384)
    floor (7286.5)     		tx = 7286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658111572265625 × 214)
    floor (0.658111572265625 × 16384)
    floor (10782.5)     		ty = 10782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7286 / 10782 ti = "14/7286/10782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7286/10782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7286 ÷ 214
    7286 ÷ 16384     		x = 0.4447021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10782 ÷ 214
    10782 ÷ 16384     		y = 0.6580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4447021484375 × 2 - 1) × π
    -0.110595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34744665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.993252560127563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34744665} λ = -0.34744665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993252560127563))-π/2
    2×atan(0.370370078845567)-π/2
    2×0.354705395651951-π/2
    0.709410791303902-1.57079632675     		φ = -0.86138554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34744665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.907227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86138554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.353756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7286 KachelY 10782 -0.34744665 -0.86138554 -19.907227 -49.353756
    Oben rechts KachelX + 1 7287 KachelY 10782 -0.34706315 -0.86138554 -19.885254 -49.353756
    Unten links KachelX 7286 KachelY + 1 10783 -0.34744665 -0.86163530 -19.907227 -49.368066
    Unten rechts KachelX + 1 7287 KachelY + 1 10783 -0.34706315 -0.86163530 -19.885254 -49.368066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86138554--0.86163530) × R
    0.000249759999999988 × 6371000     		dl = 1591.22095999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86138554--0.86163530) × R
    0.000249759999999988 × 6371000     		dr = 1591.22095999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34744665--0.34706315) × cos(-0.86138554) × R
    0.000383500000000037 × 0.651386821066532 × 6371000     		do = 1591.51941509536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34744665--0.34706315) × cos(-0.86163530) × R
    0.000383500000000037 × 0.651197296397375 × 6371000     		du = 1591.05635354599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86138554)-sin(-0.86163530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651386821066532-0.651197296397375)×R²
    abs(-0.34706315--0.34744665)×0.000189524669156338×R²
    0.000383500000000037×0.000189524669156338×6371000²
    0.000383500000000037×0.000189524669156338×40589641000000     		ar = 2532090.64808655m²