Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72859 / 95681
↖ ↑ ↗
← S 63.471371°
E 20.113220°		 ← 136.39 m → S 63.471371°
E 20.115967°		 →
↑
136.40 m
↓
↑
136.40 m
↓
S 63.472598°
E 20.113220°		 ← 136.38 m →
18 603 m²		 S 63.472598°
E 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555873870849609 y=0.729991912841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555873870849609 × 217)
    floor (0.555873870849609 × 131072)
    floor (72859.5)     		tx = 72859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729991912841797 × 217)
    floor (0.729991912841797 × 131072)
    floor (95681.5)     		ty = 95681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72859 / 95681 ti = "17/72859/95681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72859/95681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72859 ÷ 217
    72859 ÷ 131072     		x = 0.555870056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95681 ÷ 217
    95681 ÷ 131072     		y = 0.729988098144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555870056152344 × 2 - 1) × π
    0.111740112304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.35104192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729988098144531 × 2 - 1) × π
    -0.459976196289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.44505783904659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35104192} λ = 0.35104192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44505783904659))-π/2
    2×atan(0.235732441621877)-π/2
    2×0.231505956518238-π/2
    0.463011913036476-1.57079632675     		φ = -1.10778441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35104192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.113220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10778441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.471371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72859 KachelY 95681 0.35104192 -1.10778441 20.113220 -63.471371
    Oben rechts KachelX + 1 72860 KachelY 95681 0.35108985 -1.10778441 20.115967 -63.471371
    Unten links KachelX 72859 KachelY + 1 95682 0.35104192 -1.10780582 20.113220 -63.472598
    Unten rechts KachelX + 1 72860 KachelY + 1 95682 0.35108985 -1.10780582 20.115967 -63.472598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10778441--1.10780582) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dl = 136.403109999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10778441--1.10780582) × R
    2.14099999999995e-05 × 6371000     		dr = 136.403109999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35104192-0.35108985) × cos(-1.10778441) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.446644924783652 × 6371000     		do = 136.388400921059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35104192-0.35108985) × cos(-1.10780582) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.446625768912342 × 6371000     		du = 136.382551445309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10778441)-sin(-1.10780582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446644924783652-0.446625768912342)×R²
    abs(0.35108985-0.35104192)×1.9155871309684e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9155871309684e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9155871309684e-05×40589641000000     		ar = 18603.4031109481m²