Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72855 / 95911
↖ ↑ ↗
← S 63.752135°
E 20.102234°		 ← 135.08 m → S 63.752135°
E 20.104981°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
S 63.753350°
E 20.102234°		 ← 135.07 m →
18 244 m²		 S 63.753350°
E 20.104981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555843353271484 y=0.731746673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555843353271484 × 217)
    floor (0.555843353271484 × 131072)
    floor (72855.5)     		tx = 72855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731746673583984 × 217)
    floor (0.731746673583984 × 131072)
    floor (95911.5)     		ty = 95911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72855 / 95911 ti = "17/72855/95911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72855/95911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72855 ÷ 217
    72855 ÷ 131072     		x = 0.555839538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95911 ÷ 217
    95911 ÷ 131072     		y = 0.731742858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555839538574219 × 2 - 1) × π
    0.111679077148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.35085017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731742858886719 × 2 - 1) × π
    -0.463485717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.45608332595921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35085017} λ = 0.35085017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45608332595921))-π/2
    2×atan(0.233147652137371)-π/2
    2×0.229055832179674-π/2
    0.458111664359349-1.57079632675     		φ = -1.11268466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35085017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.102234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11268466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.752135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72855 KachelY 95911 0.35085017 -1.11268466 20.102234 -63.752135
    Oben rechts KachelX + 1 72856 KachelY 95911 0.35089811 -1.11268466 20.104981 -63.752135
    Unten links KachelX 72855 KachelY + 1 95912 0.35085017 -1.11270586 20.102234 -63.753350
    Unten rechts KachelX + 1 72856 KachelY + 1 95912 0.35089811 -1.11270586 20.104981 -63.753350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11268466--1.11270586) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dl = 135.06519999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11268466--1.11270586) × R
    2.11999999999435e-05 × 6371000     		dr = 135.06519999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35085017-0.35089811) × cos(-1.11268466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442255270771156 × 6371000     		do = 135.076143344092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35085017-0.35089811) × cos(-1.11270586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44223625662028 × 6371000     		du = 135.07033593299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11268466)-sin(-1.11270586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442255270771156-0.44223625662028)×R²
    abs(0.35089811-0.35085017)×1.90141508759067e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90141508759067e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90141508759067e-05×40589641000000     		ar = 18243.6941270204m²