Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7285 / 4750
↖ ↑ ↗
← N 60.086763°
W 19.929199°		 ← 1 218.40 m → N 60.086763°
W 19.907227°		 →
↑
1 218.64 m
↓
↑
1 218.64 m
↓
N 60.075803°
W 19.929199°		 ← 1 218.81 m →
1 485 046 m²		 N 60.075803°
W 19.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444671630859375 y=0.289947509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444671630859375 × 214)
    floor (0.444671630859375 × 16384)
    floor (7285.5)     		tx = 7285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289947509765625 × 214)
    floor (0.289947509765625 × 16384)
    floor (4750.5)     		ty = 4750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7285 / 4750 ti = "14/7285/4750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7285/4750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7285 ÷ 214
    7285 ÷ 16384     		x = 0.44464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4750 ÷ 214
    4750 ÷ 16384     		y = 0.2899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.1107177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34783014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2899169921875 × 2 - 1) × π
    0.420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31999046793787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34783014} λ = -0.34783014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31999046793787))-π/2
    2×atan(3.74338569490577)-π/2
    2×1.3097540867815-π/2
    2.61950817356299-1.57079632675     		φ = 1.04871185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34783014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.929199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04871185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.086763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7285 KachelY 4750 -0.34783014 1.04871185 -19.929199 60.086763
    Oben rechts KachelX + 1 7286 KachelY 4750 -0.34744665 1.04871185 -19.907227 60.086763
    Unten links KachelX 7285 KachelY + 1 4751 -0.34783014 1.04852057 -19.929199 60.075803
    Unten rechts KachelX + 1 7286 KachelY + 1 4751 -0.34744665 1.04852057 -19.907227 60.075803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04871185-1.04852057) × R
    0.000191279999999905 × 6371000     		dl = 1218.64487999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04871185-1.04852057) × R
    0.000191279999999905 × 6371000     		dr = 1218.64487999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34783014--0.34744665) × cos(1.04871185) × R
    0.000383489999999986 × 0.49868800599343 × 6371000     		do = 1218.40191183871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34783014--0.34744665) × cos(1.04852057) × R
    0.000383489999999986 × 0.498853794846199 × 6371000     		du = 1218.80696961582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04871185)-sin(1.04852057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.49868800599343-0.498853794846199)×R²
    abs(-0.34744665--0.34783014)×0.000165788852769189×R²
    0.000383489999999986×0.000165788852769189×6371000²
    0.000383489999999986×0.000165788852769189×40589641000000     		ar = 1485046.06696571m²