Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72834 / 96130
↖ ↑ ↗
← S 64.016903°
E 20.044555°		 ← 133.81 m → S 64.016903°
E 20.047302°		 →
↑
133.79 m
↓
↑
133.79 m
↓
S 64.018106°
E 20.044555°		 ← 133.80 m →
17 902 m²		 S 64.018106°
E 20.047302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555683135986328 y=0.733417510986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555683135986328 × 217)
    floor (0.555683135986328 × 131072)
    floor (72834.5)     		tx = 72834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733417510986328 × 217)
    floor (0.733417510986328 × 131072)
    floor (96130.5)     		ty = 96130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72834 / 96130 ti = "17/72834/96130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72834/96130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72834 ÷ 217
    72834 ÷ 131072     		x = 0.555679321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96130 ÷ 217
    96130 ÷ 131072     		y = 0.733413696289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555679321289062 × 2 - 1) × π
    0.111358642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34984349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733413696289062 × 2 - 1) × π
    -0.466827392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.466581506976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34984349} λ = 0.34984349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.466581506976))-π/2
    2×atan(0.23071282885154)-π/2
    2×0.226745297256836-π/2
    0.453490594513671-1.57079632675     		φ = -1.11730573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34984349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.044555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11730573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.016903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72834 KachelY 96130 0.34984349 -1.11730573 20.044555 -64.016903
    Oben rechts KachelX + 1 72835 KachelY 96130 0.34989143 -1.11730573 20.047302 -64.016903
    Unten links KachelX 72834 KachelY + 1 96131 0.34984349 -1.11732673 20.044555 -64.018106
    Unten rechts KachelX + 1 72835 KachelY + 1 96131 0.34989143 -1.11732673 20.047302 -64.018106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11730573--1.11732673) × R
    2.10000000000488e-05 × 6371000     		dl = 133.791000000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11730573--1.11732673) × R
    2.10000000000488e-05 × 6371000     		dr = 133.791000000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34984349-0.34989143) × cos(-1.11730573) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438105975632767 × 6371000     		do = 133.808841806127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34984349-0.34989143) × cos(-1.11732673) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.438087098146225 × 6371000     		du = 133.803076135831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11730573)-sin(-1.11732673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438105975632767-0.438087098146225)×R²
    abs(0.34989143-0.34984349)×1.8877486541502e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8877486541502e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8877486541502e-05×40589641000000     		ar = 17902.0330573151m²