Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72831 / 96204
↖ ↑ ↗
← S 64.105805°
E 20.036316°		 ← 133.38 m → S 64.105805°
E 20.039063°		 →
↑
133.41 m
↓
↑
133.41 m
↓
S 64.107004°
E 20.036316°		 ← 133.38 m →
17 794 m²		 S 64.107004°
E 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555660247802734 y=0.733982086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555660247802734 × 217)
    floor (0.555660247802734 × 131072)
    floor (72831.5)     		tx = 72831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733982086181641 × 217)
    floor (0.733982086181641 × 131072)
    floor (96204.5)     		ty = 96204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72831 / 96204 ti = "17/72831/96204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72831/96204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72831 ÷ 217
    72831 ÷ 131072     		x = 0.555656433105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96204 ÷ 217
    96204 ÷ 131072     		y = 0.733978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555656433105469 × 2 - 1) × π
    0.111312866210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.34969968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733978271484375 × 2 - 1) × π
    -0.46795654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47012883754788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34969968} λ = 0.34969968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47012883754788))-π/2
    2×atan(0.229895864059214)-π/2
    2×0.225969481821053-π/2
    0.451938963642105-1.57079632675     		φ = -1.11885736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34969968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.036316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11885736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.105805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72831 KachelY 96204 0.34969968 -1.11885736 20.036316 -64.105805
    Oben rechts KachelX + 1 72832 KachelY 96204 0.34974762 -1.11885736 20.039063 -64.105805
    Unten links KachelX 72831 KachelY + 1 96205 0.34969968 -1.11887830 20.036316 -64.107004
    Unten rechts KachelX + 1 72832 KachelY + 1 96205 0.34974762 -1.11887830 20.039063 -64.107004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11885736--1.11887830) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dl = 133.408739999805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11885736--1.11887830) × R
    2.09399999999693e-05 × 6371000     		dr = 133.408739999805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34969968-0.34974762) × cos(-1.11885736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436710652402986 × 6371000     		do = 133.382674175977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34969968-0.34974762) × cos(-1.11887830) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436691814640807 × 6371000     		du = 133.376920638524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11885736)-sin(-1.11887830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436710652402986-0.436691814640807)×R²
    abs(0.34974762-0.34969968)×1.88377621786473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88377621786473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88377621786473e-05×40589641000000     		ar = 17794.0307141888m²