Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7283 / 3655
↖ ↑ ↗
← N 70.088047°
W 19.973144°		 ← 832.10 m → N 70.088047°
W 19.951172°		 →
↑
832.24 m
↓
↑
832.24 m
↓
N 70.080562°
W 19.973144°		 ← 832.40 m →
692 635 m²		 N 70.080562°
W 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444549560546875 y=0.223114013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444549560546875 × 214)
    floor (0.444549560546875 × 16384)
    floor (7283.5)     		tx = 7283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223114013671875 × 214)
    floor (0.223114013671875 × 16384)
    floor (3655.5)     		ty = 3655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7283 / 3655 ti = "14/7283/3655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7283/3655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7283 ÷ 214
    7283 ÷ 16384     		x = 0.44451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3655 ÷ 214
    3655 ÷ 16384     		y = 0.22308349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.1109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34859713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22308349609375 × 2 - 1) × π
    0.5538330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73991770860956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34859713} λ = -0.34859713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73991770860956))-π/2
    2×atan(5.69687459965023)-π/2
    2×1.39703175539386-π/2
    2.79406351078772-1.57079632675     		φ = 1.22326718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34859713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.973144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22326718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.088047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7283 KachelY 3655 -0.34859713 1.22326718 -19.973144 70.088047
    Oben rechts KachelX + 1 7284 KachelY 3655 -0.34821364 1.22326718 -19.951172 70.088047
    Unten links KachelX 7283 KachelY + 1 3656 -0.34859713 1.22313655 -19.973144 70.080562
    Unten rechts KachelX + 1 7284 KachelY + 1 3656 -0.34821364 1.22313655 -19.951172 70.080562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22326718-1.22313655) × R
    0.000130629999999909 × 6371000     		dl = 832.243729999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22326718-1.22313655) × R
    0.000130629999999909 × 6371000     		dr = 832.243729999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34859713--0.34821364) × cos(1.22326718) × R
    0.000383489999999986 × 0.340575711024003 × 6371000     		do = 832.09961428858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34859713--0.34821364) × cos(1.22313655) × R
    0.000383489999999986 × 0.340698528676901 × 6371000     		du = 832.399684194615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22326718)-sin(1.22313655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340575711024003-0.340698528676901)×R²
    abs(-0.34821364--0.34859713)×0.000122817652898455×R²
    0.000383489999999986×0.000122817652898455×6371000²
    0.000383489999999986×0.000122817652898455×40589641000000     		ar = 692634.553359974m²