Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72822 / 95896
↖ ↑ ↗
← S 63.733909°
E 20.011597°		 ← 135.16 m → S 63.733909°
E 20.014343°		 →
↑
135.19 m
↓
↑
135.19 m
↓
S 63.735124°
E 20.011597°		 ← 135.16 m →
18 273 m²		 S 63.735124°
E 20.014343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555591583251953 y=0.731632232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555591583251953 × 217)
    floor (0.555591583251953 × 131072)
    floor (72822.5)     		tx = 72822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731632232666016 × 217)
    floor (0.731632232666016 × 131072)
    floor (95896.5)     		ty = 95896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72822 / 95896 ti = "17/72822/95896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72822/95896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72822 ÷ 217
    72822 ÷ 131072     		x = 0.555587768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95896 ÷ 217
    95896 ÷ 131072     		y = 0.73162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555587768554688 × 2 - 1) × π
    0.111175537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34926825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73162841796875 × 2 - 1) × π
    -0.4632568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4553642724649
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34926825} λ = 0.34926825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4553642724649))-π/2
    2×atan(0.233315358058867)-π/2
    2×0.22921488605743-π/2
    0.458429772114859-1.57079632675     		φ = -1.11236655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34926825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.011597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11236655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.733909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72822 KachelY 95896 0.34926825 -1.11236655 20.011597 -63.733909
    Oben rechts KachelX + 1 72823 KachelY 95896 0.34931619 -1.11236655 20.014343 -63.733909
    Unten links KachelX 72822 KachelY + 1 95897 0.34926825 -1.11238777 20.011597 -63.735124
    Unten rechts KachelX + 1 72823 KachelY + 1 95897 0.34931619 -1.11238777 20.014343 -63.735124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11236655--1.11238777) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dl = 135.19262000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11236655--1.11238777) × R
    2.1220000000044e-05 × 6371000     		dr = 135.19262000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34926825-0.34931619) × cos(-1.11236655) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442540557819782 × 6371000     		do = 135.163277352188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34926825-0.34931619) × cos(-1.11238777) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442521528717186 × 6371000     		du = 135.157465374446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11236655)-sin(-1.11238777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442540557819782-0.442521528717186)×R²
    abs(0.34931619-0.34926825)×1.9029102596213e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9029102596213e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9029102596213e-05×40589641000000     		ar = 18272.6847254346m²