Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72814 / 96226
↖ ↑ ↗
← S 64.132180°
E 19.989624°		 ← 133.23 m → S 64.132180°
E 19.992370°		 →
↑
133.28 m
↓
↑
133.28 m
↓
S 64.133379°
E 19.989624°		 ← 133.22 m →
17 756 m²		 S 64.133379°
E 19.992370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555530548095703 y=0.734149932861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555530548095703 × 217)
    floor (0.555530548095703 × 131072)
    floor (72814.5)     		tx = 72814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734149932861328 × 217)
    floor (0.734149932861328 × 131072)
    floor (96226.5)     		ty = 96226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72814 / 96226 ti = "17/72814/96226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72814/96226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72814 ÷ 217
    72814 ÷ 131072     		x = 0.555526733398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96226 ÷ 217
    96226 ÷ 131072     		y = 0.734146118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555526733398438 × 2 - 1) × π
    0.111053466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.34888476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734146118164062 × 2 - 1) × π
    -0.468292236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.47118344933952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34888476} λ = 0.34888476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47118344933952))-π/2
    2×atan(0.229653540970981)-π/2
    2×0.225739310931287-π/2
    0.451478621862573-1.57079632675     		φ = -1.11931770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34888476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.989624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11931770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.132180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72814 KachelY 96226 0.34888476 -1.11931770 19.989624 -64.132180
    Oben rechts KachelX + 1 72815 KachelY 96226 0.34893269 -1.11931770 19.992370 -64.132180
    Unten links KachelX 72814 KachelY + 1 96227 0.34888476 -1.11933862 19.989624 -64.133379
    Unten rechts KachelX + 1 72815 KachelY + 1 96227 0.34893269 -1.11933862 19.992370 -64.133379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11931770--1.11933862) × R
    2.09199999998688e-05 × 6371000     		dl = 133.281319999164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11931770--1.11933862) × R
    2.09199999998688e-05 × 6371000     		dr = 133.281319999164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34888476-0.34893269) × cos(-1.11931770) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.436296483348421 × 6371000     		do = 133.228379837062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34888476-0.34893269) × cos(-1.11933862) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.436277659374891 × 6371000     		du = 133.222631710292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11931770)-sin(-1.11933862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436296483348421-0.436277659374891)×R²
    abs(0.34893269-0.34888476)×1.88239735305906e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.88239735305906e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.88239735305906e-05×40589641000000     		ar = 17756.4712678882m²