Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7281 / 3664
↖ ↑ ↗
← N 70.020587°
W 20.017090°		 ← 834.80 m → N 70.020587°
W 19.995117°		 →
↑
834.92 m
↓
↑
834.92 m
↓
N 70.013079°
W 20.017090°		 ← 835.10 m →
697 120 m²		 N 70.013079°
W 19.995117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444427490234375 y=0.223663330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444427490234375 × 214)
    floor (0.444427490234375 × 16384)
    floor (7281.5)     		tx = 7281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223663330078125 × 214)
    floor (0.223663330078125 × 16384)
    floor (3664.5)     		ty = 3664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7281 / 3664 ti = "14/7281/3664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7281/3664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7281 ÷ 214
    7281 ÷ 16384     		x = 0.44439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3664 ÷ 214
    3664 ÷ 16384     		y = 0.2236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34936412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2236328125 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73646625183691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34936412} λ = -0.34936412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73646625183691))-π/2
    2×atan(5.67724597638829)-π/2
    2×1.39644305968672-π/2
    2.79288611937344-1.57079632675     		φ = 1.22208979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34936412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.017090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22208979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.020587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7281 KachelY 3664 -0.34936412 1.22208979 -20.017090 70.020587
    Oben rechts KachelX + 1 7282 KachelY 3664 -0.34898063 1.22208979 -19.995117 70.020587
    Unten links KachelX 7281 KachelY + 1 3665 -0.34936412 1.22195874 -20.017090 70.013079
    Unten rechts KachelX + 1 7282 KachelY + 1 3665 -0.34898063 1.22195874 -19.995117 70.013079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22208979-1.22195874) × R
    0.000131050000000021 × 6371000     		dl = 834.919550000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22208979-1.22195874) × R
    0.000131050000000021 × 6371000     		dr = 834.919550000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34936412--0.34898063) × cos(1.22208979) × R
    0.000383489999999986 × 0.341682476912264 × 6371000     		do = 834.803681075848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34936412--0.34898063) × cos(1.22195874) × R
    0.000383489999999986 × 0.341805636792932 × 6371000     		du = 835.10458711783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22208979)-sin(1.22195874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341682476912264-0.341805636792932)×R²
    abs(-0.34898063--0.34936412)×0.000123159880667578×R²
    0.000383489999999986×0.000123159880667578×6371000²
    0.000383489999999986×0.000123159880667578×40589641000000     		ar = 697119.530909224m²