Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72806 / 77346
↖ ↑ ↗
← S 30.831498°
E 19.967651°		 ← 262.26 m → S 30.831498°
E 19.970398°		 →
↑
262.23 m
↓
↑
262.23 m
↓
S 30.833856°
E 19.967651°		 ← 262.26 m →
68 772 m²		 S 30.833856°
E 19.970398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555469512939453 y=0.590106964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555469512939453 × 217)
    floor (0.555469512939453 × 131072)
    floor (72806.5)     		tx = 72806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590106964111328 × 217)
    floor (0.590106964111328 × 131072)
    floor (77346.5)     		ty = 77346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72806 / 77346 ti = "17/72806/77346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72806/77346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72806 ÷ 217
    72806 ÷ 131072     		x = 0.555465698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77346 ÷ 217
    77346 ÷ 131072     		y = 0.590103149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555465698242188 × 2 - 1) × π
    0.110931396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34850126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590103149414062 × 2 - 1) × π
    -0.180206298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.566134784512863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34850126} λ = 0.34850126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566134784512863))-π/2
    2×atan(0.567715546275766)-π/2
    2×0.516342587729156-π/2
    1.03268517545831-1.57079632675     		φ = -0.53811115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34850126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.967651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53811115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.831498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72806 KachelY 77346 0.34850126 -0.53811115 19.967651 -30.831498
    Oben rechts KachelX + 1 72807 KachelY 77346 0.34854920 -0.53811115 19.970398 -30.831498
    Unten links KachelX 72806 KachelY + 1 77347 0.34850126 -0.53815231 19.967651 -30.833856
    Unten rechts KachelX + 1 72807 KachelY + 1 77347 0.34854920 -0.53815231 19.970398 -30.833856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53811115--0.53815231) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dl = 262.230359999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53811115--0.53815231) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dr = 262.230359999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34850126-0.34854920) × cos(-0.53811115) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858678276507729 × 6371000     		do = 262.262448024429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34850126-0.34854920) × cos(-0.53815231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858657180663284 × 6371000     		du = 262.256004810529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53811115)-sin(-0.53815231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858678276507729-0.858657180663284)×R²
    abs(0.34854920-0.34850126)×2.10958444449849e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10958444449849e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10958444449849e-05×40589641000000     		ar = 68772.3313664114m²