Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72805 / 77347
↖ ↑ ↗
← S 30.833856°
E 19.964905°		 ← 262.26 m → S 30.833856°
E 19.967651°		 →
↑
262.23 m
↓
↑
262.23 m
↓
S 30.836214°
E 19.964905°		 ← 262.25 m →
68 771 m²		 S 30.836214°
E 19.967651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555461883544922 y=0.590114593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555461883544922 × 217)
    floor (0.555461883544922 × 131072)
    floor (72805.5)     		tx = 72805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590114593505859 × 217)
    floor (0.590114593505859 × 131072)
    floor (77347.5)     		ty = 77347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72805 / 77347 ti = "17/72805/77347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72805/77347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72805 ÷ 217
    72805 ÷ 131072     		x = 0.555458068847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77347 ÷ 217
    77347 ÷ 131072     		y = 0.590110778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555458068847656 × 2 - 1) × π
    0.110916137695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.34845332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590110778808594 × 2 - 1) × π
    -0.180221557617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.566182721412483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34845332} λ = 0.34845332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566182721412483))-π/2
    2×atan(0.567688332404891)-π/2
    2×0.516322006794826-π/2
    1.03264401358965-1.57079632675     		φ = -0.53815231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34845332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.964905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53815231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.833856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72805 KachelY 77347 0.34845332 -0.53815231 19.964905 -30.833856
    Oben rechts KachelX + 1 72806 KachelY 77347 0.34850126 -0.53815231 19.967651 -30.833856
    Unten links KachelX 72805 KachelY + 1 77348 0.34845332 -0.53819347 19.964905 -30.836214
    Unten rechts KachelX + 1 72806 KachelY + 1 77348 0.34850126 -0.53819347 19.967651 -30.836214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53815231--0.53819347) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dl = 262.230359999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53815231--0.53819347) × R
    4.11599999999845e-05 × 6371000     		dr = 262.230359999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34845332-0.34850126) × cos(-0.53815231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858657180663284 × 6371000     		do = 262.256004810225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34845332-0.34850126) × cos(-0.53819347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.858636083364149 × 6371000     		du = 262.249561152025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53815231)-sin(-0.53819347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858657180663284-0.858636083364149)×R²
    abs(0.34850126-0.34845332)×2.10972991352421e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10972991352421e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10972991352421e-05×40589641000000     		ar = 68770.6417018669m²