Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72802 / 96029
↖ ↑ ↗
← S 63.895106°
E 19.956665°		 ← 134.39 m → S 63.895106°
E 19.959412°		 →
↑
134.36 m
↓
↑
134.36 m
↓
S 63.896314°
E 19.956665°		 ← 134.39 m →
18 057 m²		 S 63.896314°
E 19.959412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555438995361328 y=0.732646942138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555438995361328 × 217)
    floor (0.555438995361328 × 131072)
    floor (72802.5)     		tx = 72802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732646942138672 × 217)
    floor (0.732646942138672 × 131072)
    floor (96029.5)     		ty = 96029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72802 / 96029 ti = "17/72802/96029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72802/96029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72802 ÷ 217
    72802 ÷ 131072     		x = 0.555435180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96029 ÷ 217
    96029 ÷ 131072     		y = 0.732643127441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555435180664062 × 2 - 1) × π
    0.110870361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34830951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732643127441406 × 2 - 1) × π
    -0.465286254882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.46173988011437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34830951} λ = 0.34830951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46173988011437))-π/2
    2×atan(0.231832562760577)-π/2
    2×0.227808180573809-π/2
    0.455616361147619-1.57079632675     		φ = -1.11517997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34830951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.956665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11517997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.895106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72802 KachelY 96029 0.34830951 -1.11517997 19.956665 -63.895106
    Oben rechts KachelX + 1 72803 KachelY 96029 0.34835745 -1.11517997 19.959412 -63.895106
    Unten links KachelX 72802 KachelY + 1 96030 0.34830951 -1.11520106 19.956665 -63.896314
    Unten rechts KachelX + 1 72803 KachelY + 1 96030 0.34835745 -1.11520106 19.959412 -63.896314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11517997--1.11520106) × R
    2.10899999999459e-05 × 6371000     		dl = 134.364389999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11517997--1.11520106) × R
    2.10899999999459e-05 × 6371000     		dr = 134.364389999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34830951-0.34835745) × cos(-1.11517997) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.440015879584188 × 6371000     		do = 134.392175633819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34830951-0.34835745) × cos(-1.11520106) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.439996940877402 × 6371000     		du = 134.386391265284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11517997)-sin(-1.11520106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440015879584188-0.439996940877402)×R²
    abs(0.34835745-0.34830951)×1.89387067865421e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89387067865421e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89387067865421e-05×40589641000000     		ar = 18057.1340937801m²