Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7280 / 4812
↖ ↑ ↗
← N 59.400365°
W 20.039063°		 ← 1 243.72 m → N 59.400365°
W 20.017090°		 →
↑
1 243.94 m
↓
↑
1 243.94 m
↓
N 59.389178°
W 20.039063°		 ← 1 244.13 m →
1 547 361 m²		 N 59.389178°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444366455078125 y=0.293731689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444366455078125 × 214)
    floor (0.444366455078125 × 16384)
    floor (7280.5)     		tx = 7280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293731689453125 × 214)
    floor (0.293731689453125 × 16384)
    floor (4812.5)     		ty = 4812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7280 / 4812 ti = "14/7280/4812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7280/4812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7280 ÷ 214
    7280 ÷ 16384     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4812 ÷ 214
    4812 ÷ 16384     		y = 0.293701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293701171875 × 2 - 1) × π
    0.41259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29621376572632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29621376572632))-π/2
    2×atan(3.65543011838339)-π/2
    2×1.30376413768487-π/2
    2.60752827536973-1.57079632675     		φ = 1.03673195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03673195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.400365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7280 KachelY 4812 -0.34974762 1.03673195 -20.039063 59.400365
    Oben rechts KachelX + 1 7281 KachelY 4812 -0.34936412 1.03673195 -20.017090 59.400365
    Unten links KachelX 7280 KachelY + 1 4813 -0.34974762 1.03653670 -20.039063 59.389178
    Unten rechts KachelX + 1 7281 KachelY + 1 4813 -0.34936412 1.03653670 -20.017090 59.389178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03673195-1.03653670) × R
    0.00019524999999998 × 6371000     		dl = 1243.93774999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03673195-1.03653670) × R
    0.00019524999999998 × 6371000     		dr = 1243.93774999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34936412) × cos(1.03673195) × R
    0.000383499999999981 × 0.509035929098899 × 6371000     		do = 1243.7165412948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34936412) × cos(1.03653670) × R
    0.000383499999999981 × 0.509203979909268 × 6371000     		du = 1244.12713622669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03673195)-sin(1.03653670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509035929098899-0.509203979909268)×R²
    abs(-0.34936412--0.34974762)×0.000168050810369635×R²
    0.000383499999999981×0.000168050810369635×6371000²
    0.000383499999999981×0.000168050810369635×40589641000000     		ar = 1547361.33819995m²