Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7280 / 10706
↖ ↑ ↗
← S 48.253941°
W 20.039063°		 ← 1 626.81 m → S 48.253941°
W 20.017090°		 →
↑
1 626.58 m
↓
↑
1 626.58 m
↓
S 48.268569°
W 20.039063°		 ← 1 626.34 m →
2 645 756 m²		 S 48.268569°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444366455078125 y=0.653472900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444366455078125 × 214)
    floor (0.444366455078125 × 16384)
    floor (7280.5)     		tx = 7280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653472900390625 × 214)
    floor (0.653472900390625 × 16384)
    floor (10706.5)     		ty = 10706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7280 / 10706 ti = "14/7280/10706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7280/10706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7280 ÷ 214
    7280 ÷ 16384     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10706 ÷ 214
    10706 ÷ 16384     		y = 0.6534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6534423828125 × 2 - 1) × π
    -0.306884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.964106925158569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.964106925158569))-π/2
    2×atan(0.381323598228071)-π/2
    2×0.364303088387907-π/2
    0.728606176775814-1.57079632675     		φ = -0.84219015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84219015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.253941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7280 KachelY 10706 -0.34974762 -0.84219015 -20.039063 -48.253941
    Oben rechts KachelX + 1 7281 KachelY 10706 -0.34936412 -0.84219015 -20.017090 -48.253941
    Unten links KachelX 7280 KachelY + 1 10707 -0.34974762 -0.84244546 -20.039063 -48.268569
    Unten rechts KachelX + 1 7281 KachelY + 1 10707 -0.34936412 -0.84244546 -20.017090 -48.268569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84219015--0.84244546) × R
    0.000255310000000009 × 6371000     		dl = 1626.58001000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84219015--0.84244546) × R
    0.000255310000000009 × 6371000     		dr = 1626.58001000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34936412) × cos(-0.84219015) × R
    0.000383499999999981 × 0.665830346188068 × 6371000     		do = 1626.80896948878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34936412) × cos(-0.84244546) × R
    0.000383499999999981 × 0.665639836887651 × 6371000     		du = 1626.34350221102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84219015)-sin(-0.84244546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665830346188068-0.665639836887651)×R²
    abs(-0.34936412--0.34974762)×0.000190509300416752×R²
    0.000383499999999981×0.000190509300416752×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190509300416752×40589641000000     		ar = 2645756.40434651m²