Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7280 / 10691
↖ ↑ ↗
← S 48.034019°
W 20.039063°		 ← 1 633.79 m → S 48.034019°
W 20.017090°		 →
↑
1 633.52 m
↓
↑
1 633.52 m
↓
S 48.048710°
W 20.039063°		 ← 1 633.33 m →
2 668 462 m²		 S 48.048710°
W 20.017090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444366455078125 y=0.652557373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444366455078125 × 214)
    floor (0.444366455078125 × 16384)
    floor (7280.5)     		tx = 7280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652557373046875 × 214)
    floor (0.652557373046875 × 16384)
    floor (10691.5)     		ty = 10691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7280 / 10691 ti = "14/7280/10691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7280/10691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7280 ÷ 214
    7280 ÷ 16384     		x = 0.4443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10691 ÷ 214
    10691 ÷ 16384     		y = 0.65252685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4443359375 × 2 - 1) × π
    -0.111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34974762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65252685546875 × 2 - 1) × π
    -0.3050537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.958354497204163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34974762} λ = -0.34974762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.958354497204163))-π/2
    2×atan(0.383523455949536)-π/2
    2×0.366222269764429-π/2
    0.732444539528859-1.57079632675     		φ = -0.83835179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34974762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83835179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.034019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7280 KachelY 10691 -0.34974762 -0.83835179 -20.039063 -48.034019
    Oben rechts KachelX + 1 7281 KachelY 10691 -0.34936412 -0.83835179 -20.017090 -48.034019
    Unten links KachelX 7280 KachelY + 1 10692 -0.34974762 -0.83860819 -20.039063 -48.048710
    Unten rechts KachelX + 1 7281 KachelY + 1 10692 -0.34936412 -0.83860819 -20.017090 -48.048710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83835179--0.83860819) × R
    0.000256399999999934 × 6371000     		dl = 1633.52439999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83835179--0.83860819) × R
    0.000256399999999934 × 6371000     		dr = 1633.52439999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34974762--0.34936412) × cos(-0.83835179) × R
    0.000383499999999981 × 0.668689246909098 × 6371000     		do = 1633.79406015411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34974762--0.34936412) × cos(-0.83860819) × R
    0.000383499999999981 × 0.668498580764785 × 6371000     		du = 1633.32820966303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83835179)-sin(-0.83860819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668689246909098-0.668498580764785)×R²
    abs(-0.34936412--0.34974762)×0.000190666144313623×R²
    0.000383499999999981×0.000190666144313623×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190666144313623×40589641000000     		ar = 2668461.98738235m²