Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72799 / 95926
↖ ↑ ↗
← S 63.770350°
E 19.948425°		 ← 134.99 m → S 63.770350°
E 19.951172°		 →
↑
134.94 m
↓
↑
134.94 m
↓
S 63.771563°
E 19.948425°		 ← 134.98 m →
18 215 m²		 S 63.771563°
E 19.951172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555416107177734 y=0.731861114501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555416107177734 × 217)
    floor (0.555416107177734 × 131072)
    floor (72799.5)     		tx = 72799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731861114501953 × 217)
    floor (0.731861114501953 × 131072)
    floor (95926.5)     		ty = 95926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72799 / 95926 ti = "17/72799/95926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72799/95926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72799 ÷ 217
    72799 ÷ 131072     		x = 0.555412292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95926 ÷ 217
    95926 ÷ 131072     		y = 0.731857299804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555412292480469 × 2 - 1) × π
    0.110824584960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.34816570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731857299804688 × 2 - 1) × π
    -0.463714599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45680237945351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34816570} λ = 0.34816570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45680237945351))-π/2
    2×atan(0.232980066762059)-π/2
    2×0.228896880844495-π/2
    0.457793761688991-1.57079632675     		φ = -1.11300257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34816570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.948425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11300257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.770350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72799 KachelY 95926 0.34816570 -1.11300257 19.948425 -63.770350
    Oben rechts KachelX + 1 72800 KachelY 95926 0.34821364 -1.11300257 19.951172 -63.770350
    Unten links KachelX 72799 KachelY + 1 95927 0.34816570 -1.11302375 19.948425 -63.771563
    Unten rechts KachelX + 1 72800 KachelY + 1 95927 0.34821364 -1.11302375 19.951172 -63.771563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11300257--1.11302375) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dl = 134.937780000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11300257--1.11302375) × R
    2.1180000000065e-05 × 6371000     		dr = 134.937780000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34816570-0.34821364) × cos(-1.11300257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441970118374926 × 6371000     		do = 134.989050462461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34816570-0.34821364) × cos(-1.11302375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.441951119185194 × 6371000     		du = 134.983247620877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11300257)-sin(-1.11302375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441970118374926-0.441951119185194)×R²
    abs(0.34821364-0.34816570)×1.8999189732638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8999189732638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8999189732638e-05×40589641000000     		ar = 18214.7312832505m²