Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72799 / 95923
S 63.766708°
E 19.948425°
← 135.01 m → S 63.766708°
E 19.951172°

135 m

135 m
S 63.767922°
E 19.948425°
← 135 m →
18 226 m²
S 63.767922°
E 19.951172°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555416107177734 y=0.731838226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555416107177734 × 217)
    floor (0.555416107177734 × 131072)
    floor (72799.5)
    tx = 72799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731838226318359 × 217)
    floor (0.731838226318359 × 131072)
    floor (95923.5)
    ty = 95923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72799 / 95923 ti = "17/72799/95923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72799/95923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72799 ÷ 217
    72799 ÷ 131072
    x = 0.555412292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95923 ÷ 217
    95923 ÷ 131072
    y = 0.731834411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.555412292480469 × 2 - 1) × π
    0.110824584960938 × 3.1415926535
    Λ = 0.34816570
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.731834411621094 × 2 - 1) × π
    -0.463668823242188 × 3.1415926535
    Φ = -1.45665856875465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34816570} λ = 0.34816570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45665856875465))-π/2
    2×atan(0.233013574197587)-π/2
    2×0.228928662910528-π/2
    0.457857325821056-1.57079632675
    φ = -1.11293900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34816570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.948425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11293900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.766708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72799 KachelY 95923 0.34816570 -1.11293900 19.948425 -63.766708
    Oben rechts KachelX + 1 72800 KachelY 95923 0.34821364 -1.11293900 19.951172 -63.766708
    Unten links KachelX 72799 KachelY + 1 95924 0.34816570 -1.11296019 19.948425 -63.767922
    Unten rechts KachelX + 1 72800 KachelY + 1 95924 0.34821364 -1.11296019 19.951172 -63.767922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.11293900--1.11296019) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000
    dl = 135.001490000027m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.11293900--1.11296019) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000
    dr = 135.001490000027m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.34816570-0.34821364) × cos(-1.11293900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.442027141664554 × 6371000
    do = 135.006466842893m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.34816570-0.34821364) × cos(-1.11296019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44200813409981 × 6371000
    du = 135.000661443365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.11293900)-sin(-1.11296019))×
    abs(λ12)×abs(0.442027141664554-0.44200813409981)×
    abs(0.34821364-0.34816570)×1.9007564743212e-05×
    4.79399999999686e-05×1.9007564743212e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9007564743212e-05×40589641000000
    ar = 18225.6823152535m²