Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72798 / 77158
↖ ↑ ↗
← S 30.387092°
E 19.945679°		 ← 263.41 m → S 30.387092°
E 19.948425°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
S 30.389461°
E 19.945679°		 ← 263.41 m →
69 393 m²		 S 30.389461°
E 19.948425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555408477783203 y=0.588672637939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555408477783203 × 217)
    floor (0.555408477783203 × 131072)
    floor (72798.5)     		tx = 72798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588672637939453 × 217)
    floor (0.588672637939453 × 131072)
    floor (77158.5)     		ty = 77158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72798 / 77158 ti = "17/72798/77158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72798/77158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72798 ÷ 217
    72798 ÷ 131072     		x = 0.555404663085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77158 ÷ 217
    77158 ÷ 131072     		y = 0.588668823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555404663085938 × 2 - 1) × π
    0.110809326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.34811777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588668823242188 × 2 - 1) × π
    -0.177337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.557122647384293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34811777} λ = 0.34811777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557122647384293))-π/2
    2×atan(0.572855000577391)-π/2
    2×0.520220761630397-π/2
    1.04044152326079-1.57079632675     		φ = -0.53035480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34811777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.945679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53035480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.387092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72798 KachelY 77158 0.34811777 -0.53035480 19.945679 -30.387092
    Oben rechts KachelX + 1 72799 KachelY 77158 0.34816570 -0.53035480 19.948425 -30.387092
    Unten links KachelX 72798 KachelY + 1 77159 0.34811777 -0.53039615 19.945679 -30.389461
    Unten rechts KachelX + 1 72799 KachelY + 1 77159 0.34816570 -0.53039615 19.948425 -30.389461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53035480--0.53039615) × R
    4.134999999994e-05 × 6371000     		dl = 263.440849999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53035480--0.53039615) × R
    4.134999999994e-05 × 6371000     		dr = 263.440849999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34811777-0.34816570) × cos(-0.53035480) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.862627652982677 × 6371000     		do = 263.413731249087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34811777-0.34816570) × cos(-0.53039615) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.862606735784645 × 6371000     		du = 263.407343931034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53035480)-sin(-0.53039615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862627652982677-0.862606735784645)×R²
    abs(0.34816570-0.34811777)×2.09171980322109e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09171980322109e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09171980322109e-05×40589641000000     		ar = 69393.0959313625m²