Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72797 / 77140
↖ ↑ ↗
← S 30.344436°
E 19.942932°		 ← 263.58 m → S 30.344436°
E 19.945679°		 →
↑
263.57 m
↓
↑
263.57 m
↓
S 30.346806°
E 19.942932°		 ← 263.58 m →
69 471 m²		 S 30.346806°
E 19.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555400848388672 y=0.588535308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555400848388672 × 217)
    floor (0.555400848388672 × 131072)
    floor (72797.5)     		tx = 72797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588535308837891 × 217)
    floor (0.588535308837891 × 131072)
    floor (77140.5)     		ty = 77140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72797 / 77140 ti = "17/72797/77140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72797/77140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72797 ÷ 217
    72797 ÷ 131072     		x = 0.555397033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77140 ÷ 217
    77140 ÷ 131072     		y = 0.588531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555397033691406 × 2 - 1) × π
    0.110794067382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.34806983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.17706298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.556259783191132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34806983} λ = 0.34806983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556259783191132))-π/2
    2×atan(0.573349509961801)-π/2
    2×0.520593008083576-π/2
    1.04118601616715-1.57079632675     		φ = -0.52961031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34806983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.942932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52961031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.344436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72797 KachelY 77140 0.34806983 -0.52961031 19.942932 -30.344436
    Oben rechts KachelX + 1 72798 KachelY 77140 0.34811777 -0.52961031 19.945679 -30.344436
    Unten links KachelX 72797 KachelY + 1 77141 0.34806983 -0.52965168 19.942932 -30.346806
    Unten rechts KachelX + 1 72798 KachelY + 1 77141 0.34811777 -0.52965168 19.945679 -30.346806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52961031--0.52965168) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dl = 263.568269999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52961031--0.52965168) × R
    4.13699999999295e-05 × 6371000     		dr = 263.568269999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34806983-0.34811777) × cos(-0.52961031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863004006285304 × 6371000     		do = 263.583637242481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34806983-0.34811777) × cos(-0.52965168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.862983105543789 × 6371000     		du = 263.577253618037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52961031)-sin(-0.52965168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863004006285304-0.862983105543789)×R²
    abs(0.34811777-0.34806983)×2.09007415148399e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09007415148399e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09007415148399e-05×40589641000000     		ar = 69471.4420176189m²