Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72796 / 77157
↖ ↑ ↗
← S 30.384723°
E 19.940185°		 ← 263.48 m → S 30.384723°
E 19.942932°		 →
↑
263.44 m
↓
↑
263.44 m
↓
S 30.387092°
E 19.940185°		 ← 263.47 m →
69 409 m²		 S 30.387092°
E 19.942932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555393218994141 y=0.588665008544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555393218994141 × 217)
    floor (0.555393218994141 × 131072)
    floor (72796.5)     		tx = 72796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588665008544922 × 217)
    floor (0.588665008544922 × 131072)
    floor (77157.5)     		ty = 77157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72796 / 77157 ti = "17/72796/77157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72796/77157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72796 ÷ 217
    72796 ÷ 131072     		x = 0.555389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77157 ÷ 217
    77157 ÷ 131072     		y = 0.588661193847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555389404296875 × 2 - 1) × π
    0.11077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34802189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588661193847656 × 2 - 1) × π
    -0.177322387695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.557074710484673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34802189} λ = 0.34802189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557074710484673))-π/2
    2×atan(0.572882462128256)-π/2
    2×0.520241437728633-π/2
    1.04048287545727-1.57079632675     		φ = -0.53031345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34802189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.940185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53031345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.384723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72796 KachelY 77157 0.34802189 -0.53031345 19.940185 -30.384723
    Oben rechts KachelX + 1 72797 KachelY 77157 0.34806983 -0.53031345 19.942932 -30.384723
    Unten links KachelX 72796 KachelY + 1 77158 0.34802189 -0.53035480 19.940185 -30.387092
    Unten rechts KachelX + 1 72797 KachelY + 1 77158 0.34806983 -0.53035480 19.942932 -30.387092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53031345--0.53035480) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dl = 263.440850000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53031345--0.53035480) × R
    4.13500000000511e-05 × 6371000     		dr = 263.440850000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34802189-0.34806983) × cos(-0.53031345) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862648568705769 × 6371000     		do = 263.475077457033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34802189-0.34806983) × cos(-0.53035480) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862627652982677 × 6371000     		du = 263.46868925683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53031345)-sin(-0.53035480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862648568705769-0.862627652982677)×R²
    abs(0.34806983-0.34802189)×2.09157230920409e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09157230920409e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09157230920409e-05×40589641000000     		ar = 69409.256912678m²