Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72794 / 95918
↖ ↑ ↗
← S 63.760636°
E 19.934693°		 ← 135.01 m → S 63.760636°
E 19.937439°		 →
↑
135.07 m
↓
↑
135.07 m
↓
S 63.761851°
E 19.934693°		 ← 135 m →
18 234 m²		 S 63.761851°
E 19.937439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555377960205078 y=0.731800079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555377960205078 × 217)
    floor (0.555377960205078 × 131072)
    floor (72794.5)     		tx = 72794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731800079345703 × 217)
    floor (0.731800079345703 × 131072)
    floor (95918.5)     		ty = 95918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72794 / 95918 ti = "17/72794/95918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72794/95918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72794 ÷ 217
    72794 ÷ 131072     		x = 0.555374145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95918 ÷ 217
    95918 ÷ 131072     		y = 0.731796264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555374145507812 × 2 - 1) × π
    0.110748291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34792602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731796264648438 × 2 - 1) × π
    -0.463592529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45641888425655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34792602} λ = 0.34792602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45641888425655))-π/2
    2×atan(0.233069430632863)-π/2
    2×0.228981642132116-π/2
    0.457963284264231-1.57079632675     		φ = -1.11283304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34792602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.934693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11283304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.760636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72794 KachelY 95918 0.34792602 -1.11283304 19.934693 -63.760636
    Oben rechts KachelX + 1 72795 KachelY 95918 0.34797395 -1.11283304 19.937439 -63.760636
    Unten links KachelX 72794 KachelY + 1 95919 0.34792602 -1.11285424 19.934693 -63.761851
    Unten rechts KachelX + 1 72795 KachelY + 1 95919 0.34797395 -1.11285424 19.937439 -63.761851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11283304--1.11285424) × R
    2.12000000001655e-05 × 6371000     		dl = 135.065200001055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11283304--1.11285424) × R
    2.12000000001655e-05 × 6371000     		dr = 135.065200001055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34792602-0.34797395) × cos(-1.11283304) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.442122185480488 × 6371000     		do = 135.007328066285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34792602-0.34797395) × cos(-1.11285424) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.442103169938668 × 6371000     		du = 135.001521441833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11283304)-sin(-1.11285424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442122185480488-0.442103169938668)×R²
    abs(0.34797395-0.34792602)×1.90155418198779e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.90155418198779e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.90155418198779e-05×40589641000000     		ar = 18234.399631165m²