Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72791 / 95921
↖ ↑ ↗
← S 63.764279°
E 19.926453°		 ← 134.99 m → S 63.764279°
E 19.929199°		 →
↑
135 m
↓
↑
135 m
↓
S 63.765493°
E 19.926453°		 ← 134.98 m →
18 223 m²		 S 63.765493°
E 19.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555355072021484 y=0.731822967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555355072021484 × 217)
    floor (0.555355072021484 × 131072)
    floor (72791.5)     		tx = 72791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731822967529297 × 217)
    floor (0.731822967529297 × 131072)
    floor (95921.5)     		ty = 95921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72791 / 95921 ti = "17/72791/95921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72791/95921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72791 ÷ 217
    72791 ÷ 131072     		x = 0.555351257324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95921 ÷ 217
    95921 ÷ 131072     		y = 0.731819152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555351257324219 × 2 - 1) × π
    0.110702514648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.34778221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731819152832031 × 2 - 1) × π
    -0.463638305664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.45656269495541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34778221} λ = 0.34778221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45656269495541))-π/2
    2×atan(0.233035915165159)-π/2
    2×0.228949853232359-π/2
    0.457899706464717-1.57079632675     		φ = -1.11289662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34778221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.926453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11289662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.764279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72791 KachelY 95921 0.34778221 -1.11289662 19.926453 -63.764279
    Oben rechts KachelX + 1 72792 KachelY 95921 0.34783014 -1.11289662 19.929199 -63.764279
    Unten links KachelX 72791 KachelY + 1 95922 0.34778221 -1.11291781 19.926453 -63.765493
    Unten rechts KachelX + 1 72792 KachelY + 1 95922 0.34783014 -1.11291781 19.929199 -63.765493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11289662--1.11291781) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dl = 135.001490000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11289662--1.11291781) × R
    2.11900000000043e-05 × 6371000     		dr = 135.001490000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34778221-0.34783014) × cos(-1.11289662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.4420651561986 × 6371000     		do = 134.989913489154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34778221-0.34783014) × cos(-1.11291781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.44204614903082 × 6371000     		du = 134.984109421816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11289662)-sin(-1.11291781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4420651561986-0.44204614903082)×R²
    abs(0.34783014-0.34778221)×1.90071677800829e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.90071677800829e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.90071677800829e-05×40589641000000     		ar = 18223.4476777856m²