Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7279 / 10807
↖ ↑ ↗
← S 49.710273°
W 20.061035°		 ← 1 579.91 m → S 49.710273°
W 20.039063°		 →
↑
1 579.69 m
↓
↑
1 579.69 m
↓
S 49.724479°
W 20.061035°		 ← 1 579.45 m →
2 495 406 m²		 S 49.724479°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444305419921875 y=0.659637451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444305419921875 × 214)
    floor (0.444305419921875 × 16384)
    floor (7279.5)     		tx = 7279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659637451171875 × 214)
    floor (0.659637451171875 × 16384)
    floor (10807.5)     		ty = 10807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7279 / 10807 ti = "14/7279/10807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7279/10807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7279 ÷ 214
    7279 ÷ 16384     		x = 0.44427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10807 ÷ 214
    10807 ÷ 16384     		y = 0.65960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35013111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65960693359375 × 2 - 1) × π
    -0.3192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00283994005157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35013111} λ = -0.35013111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00283994005157))-π/2
    2×atan(0.366836167730513)-π/2
    2×0.351594199095912-π/2
    0.703188398191824-1.57079632675     		φ = -0.86760793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35013111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86760793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.710273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7279 KachelY 10807 -0.35013111 -0.86760793 -20.061035 -49.710273
    Oben rechts KachelX + 1 7280 KachelY 10807 -0.34974762 -0.86760793 -20.039063 -49.710273
    Unten links KachelX 7279 KachelY + 1 10808 -0.35013111 -0.86785588 -20.061035 -49.724479
    Unten rechts KachelX + 1 7280 KachelY + 1 10808 -0.34974762 -0.86785588 -20.039063 -49.724479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86760793--0.86785588) × R
    0.000247949999999997 × 6371000     		dl = 1579.68944999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86760793--0.86785588) × R
    0.000247949999999997 × 6371000     		dr = 1579.68944999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35013111--0.34974762) × cos(-0.86760793) × R
    0.000383490000000042 × 0.646653028969264 × 6371000     		do = 1579.91224437618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35013111--0.34974762) × cos(-0.86785588) × R
    0.000383490000000042 × 0.646463876730745 × 6371000     		du = 1579.45010482946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86760793)-sin(-0.86785588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646653028969264-0.646463876730745)×R²
    abs(-0.34974762--0.35013111)×0.000189152238519563×R²
    0.000383490000000042×0.000189152238519563×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189152238519563×40589641000000     		ar = 2495405.69866984m²