Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7279 / 10734
↖ ↑ ↗
← S 48.661943°
W 20.061035°		 ← 1 613.74 m → S 48.661943°
W 20.039063°		 →
↑
1 613.58 m
↓
↑
1 613.58 m
↓
S 48.676454°
W 20.061035°		 ← 1 613.28 m →
2 603 536 m²		 S 48.676454°
W 20.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444305419921875 y=0.655181884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444305419921875 × 214)
    floor (0.444305419921875 × 16384)
    floor (7279.5)     		tx = 7279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655181884765625 × 214)
    floor (0.655181884765625 × 16384)
    floor (10734.5)     		ty = 10734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7279 / 10734 ti = "14/7279/10734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7279/10734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7279 ÷ 214
    7279 ÷ 16384     		x = 0.44427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10734 ÷ 214
    10734 ÷ 16384     		y = 0.6551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35013111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.974844790673462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35013111} λ = -0.35013111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.974844790673462))-π/2
    2×atan(0.377250901877833)-π/2
    2×0.360742601866039-π/2
    0.721485203732077-1.57079632675     		φ = -0.84931112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35013111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84931112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.661943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7279 KachelY 10734 -0.35013111 -0.84931112 -20.061035 -48.661943
    Oben rechts KachelX + 1 7280 KachelY 10734 -0.34974762 -0.84931112 -20.039063 -48.661943
    Unten links KachelX 7279 KachelY + 1 10735 -0.35013111 -0.84956439 -20.061035 -48.676454
    Unten rechts KachelX + 1 7280 KachelY + 1 10735 -0.34974762 -0.84956439 -20.039063 -48.676454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84931112--0.84956439) × R
    0.000253269999999972 × 6371000     		dl = 1613.58316999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84931112--0.84956439) × R
    0.000253269999999972 × 6371000     		dr = 1613.58316999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35013111--0.34974762) × cos(-0.84931112) × R
    0.000383490000000042 × 0.660500531290181 × 6371000     		do = 1613.7446668512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35013111--0.34974762) × cos(-0.84956439) × R
    0.000383490000000042 × 0.660310348514012 × 6371000     		du = 1613.28000947966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84931112)-sin(-0.84956439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660500531290181-0.660310348514012)×R²
    abs(-0.34974762--0.35013111)×0.000190182776169223×R²
    0.000383490000000042×0.000190182776169223×6371000²
    0.000383490000000042×0.000190182776169223×40589641000000     		ar = 2603536.36736807m²