Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7278 / 10810
↖ ↑ ↗
← S 49.752880°
W 20.083008°		 ← 1 578.57 m → S 49.752880°
W 20.061035°		 →
↑
1 578.29 m
↓
↑
1 578.29 m
↓
S 49.767074°
W 20.083008°		 ← 1 578.11 m →
2 491 069 m²		 S 49.767074°
W 20.061035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444244384765625 y=0.659820556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444244384765625 × 214)
    floor (0.444244384765625 × 16384)
    floor (7278.5)     		tx = 7278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659820556640625 × 214)
    floor (0.659820556640625 × 16384)
    floor (10810.5)     		ty = 10810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7278 / 10810 ti = "14/7278/10810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7278/10810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7278 ÷ 214
    7278 ÷ 16384     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10810 ÷ 214
    10810 ÷ 16384     		y = 0.6597900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6597900390625 × 2 - 1) × π
    -0.319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00399042564246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00399042564246))-π/2
    2×atan(0.366414370687559)-π/2
    2×0.351222379806548-π/2
    0.702444759613096-1.57079632675     		φ = -0.86835157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86835157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.752880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7278 KachelY 10810 -0.35051461 -0.86835157 -20.083008 -49.752880
    Oben rechts KachelX + 1 7279 KachelY 10810 -0.35013111 -0.86835157 -20.061035 -49.752880
    Unten links KachelX 7278 KachelY + 1 10811 -0.35051461 -0.86859930 -20.083008 -49.767074
    Unten rechts KachelX + 1 7279 KachelY + 1 10811 -0.35013111 -0.86859930 -20.061035 -49.767074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86835157--0.86859930) × R
    0.000247730000000002 × 6371000     		dl = 1578.28783000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86835157--0.86859930) × R
    0.000247730000000002 × 6371000     		dr = 1578.28783000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.35013111) × cos(-0.86835157) × R
    0.000383499999999981 × 0.64608561331874 × 6371000     		do = 1578.56708818091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.35013111) × cos(-0.86859930) × R
    0.000383499999999981 × 0.645896509870014 × 6371000     		du = 1578.10505579037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86835157)-sin(-0.86859930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64608561331874-0.645896509870014)×R²
    abs(-0.35013111--0.35051461)×0.000189103448725692×R²
    0.000383499999999981×0.000189103448725692×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189103448725692×40589641000000     		ar = 2491068.62680493m²