Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72777 / 55626
↖ ↑ ↗
← N 26.249083°
E 19.888000°		 ← 273.93 m → N 26.249083°
E 19.890747°		 →
↑
273.95 m
↓
↑
273.95 m
↓
N 26.246620°
E 19.888000°		 ← 273.94 m →
75 045 m²		 N 26.246620°
E 19.890747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555248260498047 y=0.424396514892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555248260498047 × 217)
    floor (0.555248260498047 × 131072)
    floor (72777.5)     		tx = 72777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424396514892578 × 217)
    floor (0.424396514892578 × 131072)
    floor (55626.5)     		ty = 55626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72777 / 55626 ti = "17/72777/55626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72777/55626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72777 ÷ 217
    72777 ÷ 131072     		x = 0.555244445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55626 ÷ 217
    55626 ÷ 131072     		y = 0.424392700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555244445800781 × 2 - 1) × π
    0.110488891601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.34711109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424392700195312 × 2 - 1) × π
    0.151214599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.475054675234756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34711109} λ = 0.34711109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475054675234756))-π/2
    2×atan(1.60810211844305)-π/2
    2×1.01446462622164-π/2
    2.02892925244328-1.57079632675     		φ = 0.45813293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34711109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.888000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45813293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.249083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72777 KachelY 55626 0.34711109 0.45813293 19.888000 26.249083
    Oben rechts KachelX + 1 72778 KachelY 55626 0.34715903 0.45813293 19.890747 26.249083
    Unten links KachelX 72777 KachelY + 1 55627 0.34711109 0.45808993 19.888000 26.246620
    Unten rechts KachelX + 1 72778 KachelY + 1 55627 0.34715903 0.45808993 19.890747 26.246620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45813293-0.45808993) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dl = 273.953000000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45813293-0.45808993) × R
    4.30000000000152e-05 × 6371000     		dr = 273.953000000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34711109-0.34715903) × cos(0.45813293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896879817439203 × 6371000     		do = 273.930181932254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34711109-0.34715903) × cos(0.45808993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896898834406713 × 6371000     		du = 273.935990203628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45813293)-sin(0.45808993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896879817439203-0.896898834406713)×R²
    abs(0.34715903-0.34711109)×1.90169675094998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90169675094998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90169675094998e-05×40589641000000     		ar = 75044.7907390957m²