Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72773 / 55738
↖ ↑ ↗
← N 25.972861°
E 19.877014°		 ← 274.58 m → N 25.972861°
E 19.879761°		 →
↑
274.59 m
↓
↑
274.59 m
↓
N 25.970392°
E 19.877014°		 ← 274.58 m →
75 397 m²		 N 25.970392°
E 19.879761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555217742919922 y=0.425251007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555217742919922 × 217)
    floor (0.555217742919922 × 131072)
    floor (72773.5)     		tx = 72773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425251007080078 × 217)
    floor (0.425251007080078 × 131072)
    floor (55738.5)     		ty = 55738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72773 / 55738 ti = "17/72773/55738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72773/55738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72773 ÷ 217
    72773 ÷ 131072     		x = 0.555213928222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55738 ÷ 217
    55738 ÷ 131072     		y = 0.425247192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555213928222656 × 2 - 1) × π
    0.110427856445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.34691934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425247192382812 × 2 - 1) × π
    0.149505615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.46968574247731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34691934} λ = 0.34691934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46968574247731))-π/2
    2×atan(1.59949146200355)-π/2
    2×1.01205413104426-π/2
    2.02410826208853-1.57079632675     		φ = 0.45331194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34691934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.877014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45331194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.972861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72773 KachelY 55738 0.34691934 0.45331194 19.877014 25.972861
    Oben rechts KachelX + 1 72774 KachelY 55738 0.34696728 0.45331194 19.879761 25.972861
    Unten links KachelX 72773 KachelY + 1 55739 0.34691934 0.45326884 19.877014 25.970392
    Unten rechts KachelX + 1 72774 KachelY + 1 55739 0.34696728 0.45326884 19.879761 25.970392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45331194-0.45326884) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dl = 274.590100000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45331194-0.45326884) × R
    4.31000000000181e-05 × 6371000     		dr = 274.590100000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34691934-0.34696728) × cos(0.45331194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899001586761678 × 6371000     		do = 274.57822489768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34691934-0.34696728) × cos(0.45326884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.899020461372117 × 6371000     		du = 274.58398968954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45331194)-sin(0.45326884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899001586761678-0.899020461372117)×R²
    abs(0.34696728-0.34691934)×1.88746104388127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88746104388127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88746104388127e-05×40589641000000     		ar = 75397.2537215921m²