Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72768 / 77246
↖ ↑ ↗
← S 30.595365°
E 19.863281°		 ← 262.85 m → S 30.595365°
E 19.866028°		 →
↑
262.93 m
↓
↑
262.93 m
↓
S 30.597730°
E 19.863281°		 ← 262.84 m →
69 111 m²		 S 30.597730°
E 19.866028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555179595947266 y=0.589344024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555179595947266 × 217)
    floor (0.555179595947266 × 131072)
    floor (72768.5)     		tx = 72768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589344024658203 × 217)
    floor (0.589344024658203 × 131072)
    floor (77246.5)     		ty = 77246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72768 / 77246 ti = "17/72768/77246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72768/77246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72768 ÷ 217
    72768 ÷ 131072     		x = 0.55517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77246 ÷ 217
    77246 ÷ 131072     		y = 0.589340209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55517578125 × 2 - 1) × π
    0.1103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34667966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589340209960938 × 2 - 1) × π
    -0.178680419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.561341094550858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34667966} λ = 0.34667966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561341094550858))-π/2
    2×atan(0.570443531925968)-π/2
    2×0.518403230918949-π/2
    1.0368064618379-1.57079632675     		φ = -0.53398986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34667966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53398986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.595365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72768 KachelY 77246 0.34667966 -0.53398986 19.863281 -30.595365
    Oben rechts KachelX + 1 72769 KachelY 77246 0.34672759 -0.53398986 19.866028 -30.595365
    Unten links KachelX 72768 KachelY + 1 77247 0.34667966 -0.53403113 19.863281 -30.597730
    Unten rechts KachelX + 1 72769 KachelY + 1 77247 0.34672759 -0.53403113 19.866028 -30.597730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53398986--0.53403113) × R
    4.12699999999822e-05 × 6371000     		dl = 262.931169999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53398986--0.53403113) × R
    4.12699999999822e-05 × 6371000     		dr = 262.931169999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34667966-0.34672759) × cos(-0.53398986) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.860783201113112 × 6371000     		do = 262.850505681655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34667966-0.34672759) × cos(-0.53403113) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.860762195114391 × 6371000     		du = 262.844091247243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53398986)-sin(-0.53403113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860783201113112-0.860762195114391)×R²
    abs(0.34672759-0.34667966)×2.10059987212352e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10059987212352e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10059987212352e-05×40589641000000     		ar = 69110.7477262403m²