Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7275 / 10803
↖ ↑ ↗
← S 49.653404°
W 20.148926°		 ← 1 581.80 m → S 49.653404°
W 20.126953°		 →
↑
1 581.60 m
↓
↑
1 581.60 m
↓
S 49.667628°
W 20.148926°		 ← 1 581.34 m →
2 501 414 m²		 S 49.667628°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444061279296875 y=0.659393310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444061279296875 × 214)
    floor (0.444061279296875 × 16384)
    floor (7275.5)     		tx = 7275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659393310546875 × 214)
    floor (0.659393310546875 × 16384)
    floor (10803.5)     		ty = 10803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7275 / 10803 ti = "14/7275/10803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7275/10803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7275 ÷ 214
    7275 ÷ 16384     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10803 ÷ 214
    10803 ÷ 16384     		y = 0.65936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65936279296875 × 2 - 1) × π
    -0.3187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00130595926373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00130595926373))-π/2
    2×atan(0.367399319185424)-π/2
    2×0.352090465960162-π/2
    0.704180931920324-1.57079632675     		φ = -0.86661539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86661539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.653404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7275 KachelY 10803 -0.35166510 -0.86661539 -20.148926 -49.653404
    Oben rechts KachelX + 1 7276 KachelY 10803 -0.35128160 -0.86661539 -20.126953 -49.653404
    Unten links KachelX 7275 KachelY + 1 10804 -0.35166510 -0.86686364 -20.148926 -49.667628
    Unten rechts KachelX + 1 7276 KachelY + 1 10804 -0.35128160 -0.86686364 -20.126953 -49.667628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86661539--0.86686364) × R
    0.000248250000000061 × 6371000     		dl = 1581.60075000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86661539--0.86686364) × R
    0.000248250000000061 × 6371000     		dr = 1581.60075000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35128160) × cos(-0.86661539) × R
    0.000383499999999981 × 0.647409804235281 × 6371000     		do = 1581.80245537719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35128160) × cos(-0.86686364) × R
    0.000383499999999981 × 0.647220582517329 × 6371000     		du = 1581.34013402199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86661539)-sin(-0.86686364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647409804235281-0.647220582517329)×R²
    abs(-0.35128160--0.35166510)×0.000189221717952659×R²
    0.000383499999999981×0.000189221717952659×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189221717952659×40589641000000     		ar = 2501414.35872353m²