Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7275 / 10800
↖ ↑ ↗
← S 49.610710°
W 20.148926°		 ← 1 583.19 m → S 49.610710°
W 20.126953°		 →
↑
1 582.94 m
↓
↑
1 582.94 m
↓
S 49.624945°
W 20.148926°		 ← 1 582.73 m →
2 505 726 m²		 S 49.624945°
W 20.126953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444061279296875 y=0.659210205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444061279296875 × 214)
    floor (0.444061279296875 × 16384)
    floor (7275.5)     		tx = 7275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659210205078125 × 214)
    floor (0.659210205078125 × 16384)
    floor (10800.5)     		ty = 10800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7275 / 10800 ti = "14/7275/10800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7275/10800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7275 ÷ 214
    7275 ÷ 16384     		x = 0.44403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10800 ÷ 214
    10800 ÷ 16384     		y = 0.6591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35166510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6591796875 × 2 - 1) × π
    -0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35166510} λ = -0.35166510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00015547367285))-π/2
    2×atan(0.367822250049529)-π/2
    2×0.352463047071076-π/2
    0.704926094142153-1.57079632675     		φ = -0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35166510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.148926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7275 KachelY 10800 -0.35166510 -0.86587023 -20.148926 -49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 7276 KachelY 10800 -0.35128160 -0.86587023 -20.126953 -49.610710
    Unten links KachelX 7275 KachelY + 1 10801 -0.35166510 -0.86611869 -20.148926 -49.624945
    Unten rechts KachelX + 1 7276 KachelY + 1 10801 -0.35128160 -0.86611869 -20.126953 -49.624945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86587023--0.86611869) × R
    0.000248460000000006 × 6371000     		dl = 1582.93866000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86587023--0.86611869) × R
    0.000248460000000006 × 6371000     		dr = 1582.93866000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35166510--0.35128160) × cos(-0.86587023) × R
    0.000383499999999981 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 1583.18959741641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35166510--0.35128160) × cos(-0.86611869) × R
    0.000383499999999981 × 0.647788280327789 × 6371000     		du = 1582.72717787678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86587023)-sin(-0.86611869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.647788280327789)×R²
    abs(-0.35128160--0.35166510)×0.000189261903473015×R²
    0.000383499999999981×0.000189261903473015×6371000²
    0.000383499999999981×0.000189261903473015×40589641000000     		ar = 2505726.04186655m²