Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72747 / 77483
↖ ↑ ↗
← S 31.154058°
E 19.805603°		 ← 261.38 m → S 31.154058°
E 19.808350°		 →
↑
261.34 m
↓
↑
261.34 m
↓
S 31.156408°
E 19.805603°		 ← 261.37 m →
68 307 m²		 S 31.156408°
E 19.808350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555019378662109 y=0.591152191162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555019378662109 × 217)
    floor (0.555019378662109 × 131072)
    floor (72747.5)     		tx = 72747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591152191162109 × 217)
    floor (0.591152191162109 × 131072)
    floor (77483.5)     		ty = 77483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72747 / 77483 ti = "17/72747/77483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72747/77483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72747 ÷ 217
    72747 ÷ 131072     		x = 0.555015563964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77483 ÷ 217
    77483 ÷ 131072     		y = 0.591148376464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555015563964844 × 2 - 1) × π
    0.110031127929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.34567298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591148376464844 × 2 - 1) × π
    -0.182296752929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.572702139760811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34567298} λ = 0.34567298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572702139760811))-π/2
    2×atan(0.563999372676272)-π/2
    2×0.513527719889696-π/2
    1.02705543977939-1.57079632675     		φ = -0.54374089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34567298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.805603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54374089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.154058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72747 KachelY 77483 0.34567298 -0.54374089 19.805603 -31.154058
    Oben rechts KachelX + 1 72748 KachelY 77483 0.34572092 -0.54374089 19.808350 -31.154058
    Unten links KachelX 72747 KachelY + 1 77484 0.34567298 -0.54378191 19.805603 -31.156408
    Unten rechts KachelX + 1 72748 KachelY + 1 77484 0.34572092 -0.54378191 19.808350 -31.156408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54374089--0.54378191) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dl = 261.338419999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54374089--0.54378191) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dr = 261.338419999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34567298-0.34572092) × cos(-0.54374089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855779358168641 × 6371000     		do = 261.377043745211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34567298-0.34572092) × cos(-0.54378191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855758136121641 × 6371000     		du = 261.370561985801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54374089)-sin(-0.54378191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855779358168641-0.855758136121641)×R²
    abs(0.34572092-0.34567298)×2.12220469997249e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12220469997249e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12220469997249e-05×40589641000000     		ar = 68307.0166796386m²