Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72745 / 55398
↖ ↑ ↗
← N 26.809364°
E 19.800110°		 ← 272.60 m → N 26.809364°
E 19.802857°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
N 26.806912°
E 19.800110°		 ← 272.60 m →
74 315 m²		 N 26.806912°
E 19.802857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555004119873047 y=0.422657012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555004119873047 × 217)
    floor (0.555004119873047 × 131072)
    floor (72745.5)     		tx = 72745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422657012939453 × 217)
    floor (0.422657012939453 × 131072)
    floor (55398.5)     		ty = 55398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72745 / 55398 ti = "17/72745/55398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72745/55398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72745 ÷ 217
    72745 ÷ 131072     		x = 0.555000305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55398 ÷ 217
    55398 ÷ 131072     		y = 0.422653198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555000305175781 × 2 - 1) × π
    0.110000610351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.34557711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422653198242188 × 2 - 1) × π
    0.154693603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.485984288348129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34557711} λ = 0.34557711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485984288348129))-π/2
    2×atan(1.62577445240846)-π/2
    2×1.01935399587916-π/2
    2.03870799175832-1.57079632675     		φ = 0.46791167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34557711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.800110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46791167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.809364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72745 KachelY 55398 0.34557711 0.46791167 19.800110 26.809364
    Oben rechts KachelX + 1 72746 KachelY 55398 0.34562505 0.46791167 19.802857 26.809364
    Unten links KachelX 72745 KachelY + 1 55399 0.34557711 0.46786888 19.800110 26.806912
    Unten rechts KachelX + 1 72746 KachelY + 1 55399 0.34562505 0.46786888 19.802857 26.806912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46791167-0.46786888) × R
    4.27900000000148e-05 × 6371000     		dl = 272.615090000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46791167-0.46786888) × R
    4.27900000000148e-05 × 6371000     		dr = 272.615090000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34557711-0.34562505) × cos(0.46791167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892512119405818 × 6371000     		do = 272.596174528312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34557711-0.34562505) × cos(0.46786888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892531417880455 × 6371000     		du = 272.602068779208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46791167)-sin(0.46786888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892512119405818-0.892531417880455)×R²
    abs(0.34562505-0.34557711)×1.92984746366642e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92984746366642e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92984746366642e-05×40589641000000     		ar = 74314.6340949837m²