Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72742 / 95718
↖ ↑ ↗
← S 63.516725°
E 19.791870°		 ← 136.20 m → S 63.516725°
E 19.794617°		 →
↑
136.21 m
↓
↑
136.21 m
↓
S 63.517950°
E 19.791870°		 ← 136.19 m →
18 552 m²		 S 63.517950°
E 19.794617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554981231689453 y=0.730274200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554981231689453 × 217)
    floor (0.554981231689453 × 131072)
    floor (72742.5)     		tx = 72742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730274200439453 × 217)
    floor (0.730274200439453 × 131072)
    floor (95718.5)     		ty = 95718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72742 / 95718 ti = "17/72742/95718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72742/95718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72742 ÷ 217
    72742 ÷ 131072     		x = 0.554977416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95718 ÷ 217
    95718 ÷ 131072     		y = 0.730270385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554977416992188 × 2 - 1) × π
    0.109954833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34543330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730270385742188 × 2 - 1) × π
    -0.460540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44683150433253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34543330} λ = 0.34543330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44683150433253))-π/2
    2×atan(0.235314701748272)-π/2
    2×0.231110171385895-π/2
    0.46222034277179-1.57079632675     		φ = -1.10857598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34543330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.791870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10857598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.516725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72742 KachelY 95718 0.34543330 -1.10857598 19.791870 -63.516725
    Oben rechts KachelX + 1 72743 KachelY 95718 0.34548124 -1.10857598 19.794617 -63.516725
    Unten links KachelX 72742 KachelY + 1 95719 0.34543330 -1.10859736 19.791870 -63.517950
    Unten rechts KachelX + 1 72743 KachelY + 1 95719 0.34548124 -1.10859736 19.794617 -63.517950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10857598--1.10859736) × R
    2.13800000001818e-05 × 6371000     		dl = 136.211980001158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10857598--1.10859736) × R
    2.13800000001818e-05 × 6371000     		dr = 136.211980001158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34543330-0.34548124) × cos(-1.10857598) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445936558303444 × 6371000     		do = 136.200503312951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34543330-0.34548124) × cos(-1.10859736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445917421721001 × 6371000     		du = 136.194658508097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10857598)-sin(-1.10859736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445936558303444-0.445917421721001)×R²
    abs(0.34548124-0.34543330)×1.91365824429579e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91365824429579e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91365824429579e-05×40589641000000     		ar = 18551.7421678866m²