Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7274 / 4501
↖ ↑ ↗
← N 62.704388°
W 20.170898°		 ← 1 120.41 m → N 62.704388°
W 20.148926°		 →
↑
1 120.66 m
↓
↑
1 120.66 m
↓
N 62.694309°
W 20.170898°		 ← 1 120.80 m →
1 255 815 m²		 N 62.694309°
W 20.148926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444000244140625 y=0.274749755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444000244140625 × 214)
    floor (0.444000244140625 × 16384)
    floor (7274.5)     		tx = 7274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274749755859375 × 214)
    floor (0.274749755859375 × 16384)
    floor (4501.5)     		ty = 4501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7274 / 4501 ti = "14/7274/4501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7274/4501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7274 ÷ 214
    7274 ÷ 16384     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4501 ÷ 214
    4501 ÷ 16384     		y = 0.27471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27471923828125 × 2 - 1) × π
    0.4505615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.41548077198102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41548077198102))-π/2
    2×atan(4.11846603314843)-π/2
    2×1.33259717261211-π/2
    2.66519434522421-1.57079632675     		φ = 1.09439802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09439802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.704388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7274 KachelY 4501 -0.35204859 1.09439802 -20.170898 62.704388
    Oben rechts KachelX + 1 7275 KachelY 4501 -0.35166510 1.09439802 -20.148926 62.704388
    Unten links KachelX 7274 KachelY + 1 4502 -0.35204859 1.09422212 -20.170898 62.694309
    Unten rechts KachelX + 1 7275 KachelY + 1 4502 -0.35166510 1.09422212 -20.148926 62.694309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09439802-1.09422212) × R
    0.000175900000000118 × 6371000     		dl = 1120.65890000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09439802-1.09422212) × R
    0.000175900000000118 × 6371000     		dr = 1120.65890000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35166510) × cos(1.09439802) × R
    0.000383489999999986 × 0.458581503720878 × 6371000     		do = 1120.41311231125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35166510) × cos(1.09422212) × R
    0.000383489999999986 × 0.458737810574518 × 6371000     		du = 1120.79500352784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09439802)-sin(1.09422212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458581503720878-0.458737810574518)×R²
    abs(-0.35166510--0.35204859)×0.000156306853640487×R²
    0.000383489999999986×0.000156306853640487×6371000²
    0.000383489999999986×0.000156306853640487×40589641000000     		ar = 1255814.91412232m²