Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7274 / 10806
↖ ↑ ↗
← S 49.696062°
W 20.170898°		 ← 1 580.37 m → S 49.696062°
W 20.148926°		 →
↑
1 580.20 m
↓
↑
1 580.20 m
↓
S 49.710273°
W 20.170898°		 ← 1 579.91 m →
2 496 941 m²		 S 49.710273°
W 20.148926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444000244140625 y=0.659576416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444000244140625 × 214)
    floor (0.444000244140625 × 16384)
    floor (7274.5)     		tx = 7274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659576416015625 × 214)
    floor (0.659576416015625 × 16384)
    floor (10806.5)     		ty = 10806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7274 / 10806 ti = "14/7274/10806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7274/10806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7274 ÷ 214
    7274 ÷ 16384     		x = 0.4439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10806 ÷ 214
    10806 ÷ 16384     		y = 0.6595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4439697265625 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35204859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00245644485461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35204859} λ = -0.35204859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00245644485461))-π/2
    2×atan(0.366976874617392)-π/2
    2×0.35171821139761-π/2
    0.703436422795219-1.57079632675     		φ = -0.86735990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35204859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.170898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86735990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.696062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7274 KachelY 10806 -0.35204859 -0.86735990 -20.170898 -49.696062
    Oben rechts KachelX + 1 7275 KachelY 10806 -0.35166510 -0.86735990 -20.148926 -49.696062
    Unten links KachelX 7274 KachelY + 1 10807 -0.35204859 -0.86760793 -20.170898 -49.710273
    Unten rechts KachelX + 1 7275 KachelY + 1 10807 -0.35166510 -0.86760793 -20.148926 -49.710273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86735990--0.86760793) × R
    0.000248030000000066 × 6371000     		dl = 1580.19913000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86735990--0.86760793) × R
    0.000248030000000066 × 6371000     		dr = 1580.19913000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35204859--0.35166510) × cos(-0.86735990) × R
    0.000383489999999986 × 0.646842202461983 × 6371000     		do = 1580.37443585124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35204859--0.35166510) × cos(-0.86760793) × R
    0.000383489999999986 × 0.646653028969264 × 6371000     		du = 1579.91224437595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86735990)-sin(-0.86760793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646842202461983-0.646653028969264)×R²
    abs(-0.35166510--0.35204859)×0.000189173492718964×R²
    0.000383489999999986×0.000189173492718964×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189173492718964×40589641000000     		ar = 2496941.14412395m²