Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72735 / 77470
↖ ↑ ↗
← S 31.123497°
E 19.772644°		 ← 261.46 m → S 31.123497°
E 19.775391°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
S 31.125848°
E 19.772644°		 ← 261.45 m →
68 346 m²		 S 31.125848°
E 19.775391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554927825927734 y=0.591053009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554927825927734 × 217)
    floor (0.554927825927734 × 131072)
    floor (72735.5)     		tx = 72735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591053009033203 × 217)
    floor (0.591053009033203 × 131072)
    floor (77470.5)     		ty = 77470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72735 / 77470 ti = "17/72735/77470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72735/77470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72735 ÷ 217
    72735 ÷ 131072     		x = 0.554924011230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77470 ÷ 217
    77470 ÷ 131072     		y = 0.591049194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554924011230469 × 2 - 1) × π
    0.109848022460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.34509774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591049194335938 × 2 - 1) × π
    -0.182098388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.57207896006575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34509774} λ = 0.34509774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.57207896006575))-π/2
    2×atan(0.564350955171508)-π/2
    2×0.51379441502573-π/2
    1.02758883005146-1.57079632675     		φ = -0.54320750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34509774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.772644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54320750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.123497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72735 KachelY 77470 0.34509774 -0.54320750 19.772644 -31.123497
    Oben rechts KachelX + 1 72736 KachelY 77470 0.34514568 -0.54320750 19.775391 -31.123497
    Unten links KachelX 72735 KachelY + 1 77471 0.34509774 -0.54324853 19.772644 -31.125848
    Unten rechts KachelX + 1 72736 KachelY + 1 77471 0.34514568 -0.54324853 19.775391 -31.125848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54320750--0.54324853) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54320750--0.54324853) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34509774-0.34514568) × cos(-0.54320750) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856055180924455 × 6371000     		do = 261.461287114817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34509774-0.34514568) × cos(-0.54324853) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856033972435205 × 6371000     		du = 261.454809496293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54320750)-sin(-0.54324853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856055180924455-0.856033972435205)×R²
    abs(0.34514568-0.34509774)×2.12084892500242e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12084892500242e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12084892500242e-05×40589641000000     		ar = 68345.6907421959m²