Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72733 / 103412
↖ ↑ ↗
← S 71.514462°
E 19.767151°		 ← 96.82 m → S 71.514462°
E 19.769897°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
S 71.515333°
E 19.767151°		 ← 96.82 m →
9 376 m²		 S 71.515333°
E 19.769897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554912567138672 y=0.788974761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554912567138672 × 217)
    floor (0.554912567138672 × 131072)
    floor (72733.5)     		tx = 72733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788974761962891 × 217)
    floor (0.788974761962891 × 131072)
    floor (103412.5)     		ty = 103412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72733 / 103412 ti = "17/72733/103412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72733/103412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72733 ÷ 217
    72733 ÷ 131072     		x = 0.554908752441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103412 ÷ 217
    103412 ÷ 131072     		y = 0.788970947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554908752441406 × 2 - 1) × π
    0.109817504882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.34500187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788970947265625 × 2 - 1) × π
    -0.57794189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81565801000925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34500187} λ = 0.34500187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81565801000925))-π/2
    2×atan(0.162730794661409)-π/2
    2×0.161316753348429-π/2
    0.322633506696858-1.57079632675     		φ = -1.24816282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34500187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.767151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24816282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.514462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72733 KachelY 103412 0.34500187 -1.24816282 19.767151 -71.514462
    Oben rechts KachelX + 1 72734 KachelY 103412 0.34504980 -1.24816282 19.769897 -71.514462
    Unten links KachelX 72733 KachelY + 1 103413 0.34500187 -1.24817802 19.767151 -71.515333
    Unten rechts KachelX + 1 72734 KachelY + 1 103413 0.34504980 -1.24817802 19.769897 -71.515333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24816282--1.24817802) × R
    1.5200000000215e-05 × 6371000     		dl = 96.83920000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24816282--1.24817802) × R
    1.5200000000215e-05 × 6371000     		dr = 96.83920000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34500187-0.34504980) × cos(-1.24816282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317065284834841 × 6371000     		do = 96.8196990197547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34500187-0.34504980) × cos(-1.24817802) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.317050869061758 × 6371000     		du = 96.8152969900219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24816282)-sin(-1.24817802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317065284834841-0.317050869061758)×R²
    abs(0.34504980-0.34500187)×1.44157730831984e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44157730831984e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44157730831984e-05×40589641000000     		ar = 9375.72905304234m²