Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7273 / 4861
↖ ↑ ↗
← N 58.847859°
W 20.192871°		 ← 1 263.94 m → N 58.847859°
W 20.170898°		 →
↑
1 264.13 m
↓
↑
1 264.13 m
↓
N 58.836490°
W 20.192871°		 ← 1 264.35 m →
1 598 049 m²		 N 58.836490°
W 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443939208984375 y=0.296722412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443939208984375 × 214)
    floor (0.443939208984375 × 16384)
    floor (7273.5)     		tx = 7273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296722412109375 × 214)
    floor (0.296722412109375 × 16384)
    floor (4861.5)     		ty = 4861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7273 / 4861 ti = "14/7273/4861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7273/4861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7273 ÷ 214
    7273 ÷ 16384     		x = 0.44390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4861 ÷ 214
    4861 ÷ 16384     		y = 0.29669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44390869140625 × 2 - 1) × π
    -0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29669189453125 × 2 - 1) × π
    0.4066162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27742250107526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35243209} λ = -0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27742250107526))-π/2
    2×atan(3.58738132742525)-π/2
    2×1.29894260929525-π/2
    2.5978852185905-1.57079632675     		φ = 1.02708889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02708889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.847859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7273 KachelY 4861 -0.35243209 1.02708889 -20.192871 58.847859
    Oben rechts KachelX + 1 7274 KachelY 4861 -0.35204859 1.02708889 -20.170898 58.847859
    Unten links KachelX 7273 KachelY + 1 4862 -0.35243209 1.02689047 -20.192871 58.836490
    Unten rechts KachelX + 1 7274 KachelY + 1 4862 -0.35204859 1.02689047 -20.170898 58.836490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02708889-1.02689047) × R
    0.00019841999999981 × 6371000     		dl = 1264.13381999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02708889-1.02689047) × R
    0.00019841999999981 × 6371000     		dr = 1264.13381999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35243209--0.35204859) × cos(1.02708889) × R
    0.000383499999999981 × 0.517312351674968 × 6371000     		do = 1263.93814663183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35243209--0.35204859) × cos(1.02689047) × R
    0.000383499999999981 × 0.517482148664583 × 6371000     		du = 1264.35300796592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02708889)-sin(1.02689047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517312351674968-0.517482148664583)×R²
    abs(-0.35204859--0.35243209)×0.000169796989614501×R²
    0.000383499999999981×0.000169796989614501×6371000²
    0.000383499999999981×0.000169796989614501×40589641000000     		ar = 1598049.18290929m²