Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72728 / 103416
↖ ↑ ↗
← S 71.517945°
E 19.753418°		 ← 96.82 m → S 71.517945°
E 19.756165°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
S 71.518816°
E 19.753418°		 ← 96.82 m →
9 376 m²		 S 71.518816°
E 19.756165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554874420166016 y=0.789005279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554874420166016 × 217)
    floor (0.554874420166016 × 131072)
    floor (72728.5)     		tx = 72728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789005279541016 × 217)
    floor (0.789005279541016 × 131072)
    floor (103416.5)     		ty = 103416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72728 / 103416 ti = "17/72728/103416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72728/103416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72728 ÷ 217
    72728 ÷ 131072     		x = 0.55487060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103416 ÷ 217
    103416 ÷ 131072     		y = 0.78900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55487060546875 × 2 - 1) × π
    0.1097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.34476218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81584975760773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34476218} λ = 0.34476218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81584975760773))-π/2
    2×atan(0.162699594413716)-π/2
    2×0.161286357858849-π/2
    0.322572715717698-1.57079632675     		φ = -1.24822361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34476218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.753418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24822361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.517945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72728 KachelY 103416 0.34476218 -1.24822361 19.753418 -71.517945
    Oben rechts KachelX + 1 72729 KachelY 103416 0.34481012 -1.24822361 19.756165 -71.517945
    Unten links KachelX 72728 KachelY + 1 103417 0.34476218 -1.24823881 19.753418 -71.518816
    Unten rechts KachelX + 1 72729 KachelY + 1 103417 0.34481012 -1.24823881 19.756165 -71.518816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24822361--1.24823881) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24822361--1.24823881) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34476218-0.34481012) × cos(-1.24822361) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.317007630787244 × 6371000     		do = 96.8222902188894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34476218-0.34481012) × cos(-1.24823881) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.316993214721223 × 6371000     		du = 96.8178871812572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24822361)-sin(-1.24823881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317007630787244-0.316993214721223)×R²
    abs(0.34481012-0.34476218)×1.44160660205395e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.44160660205395e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.44160660205395e-05×40589641000000     		ar = 9375.9799338419m²