Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7272 / 6072
↖ ↑ ↗
← N 74.235878°
W100.107422°		 ← 331.89 m → N 74.235878°
W100.096436°		 →
↑
331.93 m
↓
↑
331.93 m
↓
N 74.232893°
W100.107422°		 ← 331.95 m →
110 175 m²		 N 74.232893°
W100.096436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.221939086914062 y=0.185317993164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.221939086914062 × 215)
    floor (0.221939086914062 × 32768)
    floor (7272.5)     		tx = 7272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185317993164062 × 215)
    floor (0.185317993164062 × 32768)
    floor (6072.5)     		ty = 6072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7272 / 6072 ti = "15/7272/6072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7272/6072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7272 ÷ 215
    7272 ÷ 32768     		x = 0.221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6072 ÷ 215
    6072 ÷ 32768     		y = 0.185302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.55615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74720412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185302734375 × 2 - 1) × π
    0.62939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.97730123552808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74720412} λ = -1.74720412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97730123552808))-π/2
    2×atan(7.22322287964462)-π/2
    2×1.43322841109413-π/2
    2.86645682218826-1.57079632675     		φ = 1.29566050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74720412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29566050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.235878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7272 KachelY 6072 -1.74720412 1.29566050 -100.107422 74.235878
    Oben rechts KachelX + 1 7273 KachelY 6072 -1.74701237 1.29566050 -100.096436 74.235878
    Unten links KachelX 7272 KachelY + 1 6073 -1.74720412 1.29560840 -100.107422 74.232893
    Unten rechts KachelX + 1 7273 KachelY + 1 6073 -1.74701237 1.29560840 -100.096436 74.232893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29566050-1.29560840) × R
    5.20999999999994e-05 × 6371000     		dl = 331.929099999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29566050-1.29560840) × R
    5.20999999999994e-05 × 6371000     		dr = 331.929099999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74720412--1.74701237) × cos(1.29566050) × R
    0.000191749999999935 × 0.271677657580759 × 6371000     		do = 331.892089848603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74720412--1.74701237) × cos(1.29560840) × R
    0.000191749999999935 × 0.271727797642725 × 6371000     		du = 331.953342916298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29566050)-sin(1.29560840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271677657580759-0.271727797642725)×R²
    abs(-1.74701237--1.74720412)×5.01400619664083e-05×R²
    0.000191749999999935×5.01400619664083e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.01400619664083e-05×40589641000000     		ar = 110174.808542874m²