Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7272 / 4858
↖ ↑ ↗
← N 58.881942°
W 20.214844°		 ← 1 262.66 m → N 58.881942°
W 20.192871°		 →
↑
1 262.86 m
↓
↑
1 262.86 m
↓
N 58.870585°
W 20.214844°		 ← 1 263.08 m →
1 594 826 m²		 N 58.870585°
W 20.192871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443878173828125 y=0.296539306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443878173828125 × 214)
    floor (0.443878173828125 × 16384)
    floor (7272.5)     		tx = 7272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296539306640625 × 214)
    floor (0.296539306640625 × 16384)
    floor (4858.5)     		ty = 4858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7272 / 4858 ti = "14/7272/4858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7272/4858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7272 ÷ 214
    7272 ÷ 16384     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4858 ÷ 214
    4858 ÷ 16384     		y = 0.2965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2965087890625 × 2 - 1) × π
    0.406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27857298666614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27857298666614))-π/2
    2×atan(3.59151093302181)-π/2
    2×1.29924004303217-π/2
    2.59848008606433-1.57079632675     		φ = 1.02768376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02768376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.881942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7272 KachelY 4858 -0.35281558 1.02768376 -20.214844 58.881942
    Oben rechts KachelX + 1 7273 KachelY 4858 -0.35243209 1.02768376 -20.192871 58.881942
    Unten links KachelX 7272 KachelY + 1 4859 -0.35281558 1.02748554 -20.214844 58.870585
    Unten rechts KachelX + 1 7273 KachelY + 1 4859 -0.35243209 1.02748554 -20.192871 58.870585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02768376-1.02748554) × R
    0.000198219999999916 × 6371000     		dl = 1262.85961999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02768376-1.02748554) × R
    0.000198219999999916 × 6371000     		dr = 1262.85961999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.35243209) × cos(1.02768376) × R
    0.000383490000000042 × 0.516803172412499 × 6371000     		do = 1262.66115435728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.35243209) × cos(1.02748554) × R
    0.000383490000000042 × 0.516972859242242 × 6371000     		du = 1263.07573572937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02768376)-sin(1.02748554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516803172412499-0.516972859242242)×R²
    abs(-0.35243209--0.35281558)×0.000169686829742277×R²
    0.000383490000000042×0.000169686829742277×6371000²
    0.000383490000000042×0.000169686829742277×40589641000000     		ar = 1594825.56983763m²