Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7272 / 4827
↖ ↑ ↗
← N 59.232176°
W 20.214844°		 ← 1 249.85 m → N 59.232176°
W 20.192871°		 →
↑
1 250.05 m
↓
↑
1 250.05 m
↓
N 59.220934°
W 20.214844°		 ← 1 250.26 m →
1 562 640 m²		 N 59.220934°
W 20.192871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.443878173828125 y=0.294647216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.443878173828125 × 214)
    floor (0.443878173828125 × 16384)
    floor (7272.5)     		tx = 7272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294647216796875 × 214)
    floor (0.294647216796875 × 16384)
    floor (4827.5)     		ty = 4827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7272 / 4827 ti = "14/7272/4827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7272/4827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7272 ÷ 214
    7272 ÷ 16384     		x = 0.44384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4827 ÷ 214
    4827 ÷ 16384     		y = 0.29461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44384765625 × 2 - 1) × π
    -0.1123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35281558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29461669921875 × 2 - 1) × π
    0.4107666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29046133777191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35281558} λ = -0.35281558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29046133777191))-π/2
    2×atan(3.63446288405532)-π/2
    2×1.30229641289777-π/2
    2.60459282579553-1.57079632675     		φ = 1.03379650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35281558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03379650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.232176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7272 KachelY 4827 -0.35281558 1.03379650 -20.214844 59.232176
    Oben rechts KachelX + 1 7273 KachelY 4827 -0.35243209 1.03379650 -20.192871 59.232176
    Unten links KachelX 7272 KachelY + 1 4828 -0.35281558 1.03360029 -20.214844 59.220934
    Unten rechts KachelX + 1 7273 KachelY + 1 4828 -0.35243209 1.03360029 -20.192871 59.220934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03379650-1.03360029) × R
    0.000196209999999919 × 6371000     		dl = 1250.05390999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03379650-1.03360029) × R
    0.000196209999999919 × 6371000     		dr = 1250.05390999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35281558--0.35243209) × cos(1.03379650) × R
    0.000383490000000042 × 0.511560407032469 × 6371000     		do = 1249.85195244029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35281558--0.35243209) × cos(1.03360029) × R
    0.000383490000000042 × 0.511728990100129 × 6371000     		du = 1250.26383708454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03379650)-sin(1.03360029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511560407032469-0.511728990100129)×R²
    abs(-0.35243209--0.35281558)×0.000168583067660211×R²
    0.000383490000000042×0.000168583067660211×6371000²
    0.000383490000000042×0.000168583067660211×40589641000000     		ar = 1562639.76408705m²