Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72712 / 103432
↖ ↑ ↗
← S 71.531870°
E 19.709473°		 ← 96.75 m → S 71.531870°
E 19.712219°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
S 71.532741°
E 19.709473°		 ← 96.75 m →
9 363 m²		 S 71.532741°
E 19.712219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554752349853516 y=0.789127349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554752349853516 × 217)
    floor (0.554752349853516 × 131072)
    floor (72712.5)     		tx = 72712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.789127349853516 × 217)
    floor (0.789127349853516 × 131072)
    floor (103432.5)     		ty = 103432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72712 / 103432 ti = "17/72712/103432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72712/103432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72712 ÷ 217
    72712 ÷ 131072     		x = 0.55474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103432 ÷ 217
    103432 ÷ 131072     		y = 0.78912353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55474853515625 × 2 - 1) × π
    0.1094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.34399519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78912353515625 × 2 - 1) × π
    -0.5782470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.81661674800165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34399519} λ = 0.34399519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81661674800165))-π/2
    2×atan(0.162574853231465)-π/2
    2×0.161164831163152-π/2
    0.322329662326305-1.57079632675     		φ = -1.24846666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34399519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.709473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24846666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.531870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72712 KachelY 103432 0.34399519 -1.24846666 19.709473 -71.531870
    Oben rechts KachelX + 1 72713 KachelY 103432 0.34404313 -1.24846666 19.712219 -71.531870
    Unten links KachelX 72712 KachelY + 1 103433 0.34399519 -1.24848185 19.709473 -71.532741
    Unten rechts KachelX + 1 72713 KachelY + 1 103433 0.34404313 -1.24848185 19.712219 -71.532741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24846666--1.24848185) × R
    1.51899999998317e-05 × 6371000     		dl = 96.7754899989279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24846666--1.24848185) × R
    1.51899999998317e-05 × 6371000     		dr = 96.7754899989279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34399519-0.34404313) × cos(-1.24846666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.316777107219211 × 6371000     		do = 96.7518823874234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34399519-0.34404313) × cos(-1.24848185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.316762699467551 × 6371000     		du = 96.7474818892109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24846666)-sin(-1.24848185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316777107219211-0.316762699467551)×R²
    abs(0.34404313-0.34399519)×1.44077516601171e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44077516601171e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44077516601171e-05×40589641000000     		ar = 9362.99789630717m²